Punti di accumulazione frontiera e isolati
Ho parecchie difficoltà nel determinare punti interni, d'accumulazione, di frontiera e isolati, malgrado di questi conosca e tenga sempre presente la definizione.
Ad esempio, non saprei risolvere esercizi ove sia richiesta la distinzione in un insieme del tipo:
$A=[3,+oo[ U {x,x in Q, 0<=x<=3}$ o
$B={x,x in Q, -2
spero possiate chiarirmi un pò l'idee nella risoluzione di esercizi simili.
Vi ringrazio, alex
Ad esempio, non saprei risolvere esercizi ove sia richiesta la distinzione in un insieme del tipo:
$A=[3,+oo[ U {x,x in Q, 0<=x<=3}$ o
$B={x,x in Q, -2
spero possiate chiarirmi un pò l'idee nella risoluzione di esercizi simili.
Vi ringrazio, alex
Risposte
C'è una parentesi quadra rovesciata nel tuo testo; inoltre hai usato la lettera U al posto del simbolo di "unione" fra insiemi. Giusto?
Veniamo ora all'insieme A.
Dovrebbe esserti chiaro che ogni x>3 è un punto interno di A. Se non ti è chiaro questo, torna a leggere il ... Libro.
Veniamo ai punti di frontiera. Ogni razionale è letteralmente "assediato" da punti irrazionali. Quindi, in particolare, in ogni intorno di ciascun razionale x compreso fra 0 e 3 ci sono sia punti di A (per es. il numero stesso), sia punti del complementare di A. Ergo: ogni x di tal fatta è punto di frontiera di A. E sono gli unici punti di frontiera di A.
Veniamo ai punti d'accumulazione. Ogni punto interno di A è ovviamente punto di accumulazione di A, perchè in ogni suo intorno ci sono punti di A distinti da esso. Ma anche i punti di frontiera di A sono punti di accumulazione di A, perchè in ogni intorno di qualsiasi numero razionale ci sono, non solo infiniti numeri irrazionali (li mortacci loro!), ma anche infiniti numeri razionali.
Veniamo infine ai punti isolati. Esistono in A punti z tali che si possa scegliere un intero intorno di z dove non si sono, oltre a z, altri punti di A? Io non ne vedo. Per quanto detto poc'anzi, ogni maledetto punto di A è circondato, assediato, soffocato, assillato, tormentato, spomiciato da altri punti di A. Insomma A non ha punti isolati.
E tu? Che mi dici dell'insieme B?
Mi sai dire se i seguenti punti di B sono per B punti frontiera e/o di accumulazione?
x=-3, x=-2, x=-1, x=0, x=1.
Aspetto tue nuove. Ma ti dico subito: punti isolati, neanche l'ombra! Giusto?
Veniamo ora all'insieme A.
Dovrebbe esserti chiaro che ogni x>3 è un punto interno di A. Se non ti è chiaro questo, torna a leggere il ... Libro.
Veniamo ai punti di frontiera. Ogni razionale è letteralmente "assediato" da punti irrazionali. Quindi, in particolare, in ogni intorno di ciascun razionale x compreso fra 0 e 3 ci sono sia punti di A (per es. il numero stesso), sia punti del complementare di A. Ergo: ogni x di tal fatta è punto di frontiera di A. E sono gli unici punti di frontiera di A.
Veniamo ai punti d'accumulazione. Ogni punto interno di A è ovviamente punto di accumulazione di A, perchè in ogni suo intorno ci sono punti di A distinti da esso. Ma anche i punti di frontiera di A sono punti di accumulazione di A, perchè in ogni intorno di qualsiasi numero razionale ci sono, non solo infiniti numeri irrazionali (li mortacci loro!), ma anche infiniti numeri razionali.
Veniamo infine ai punti isolati. Esistono in A punti z tali che si possa scegliere un intero intorno di z dove non si sono, oltre a z, altri punti di A? Io non ne vedo. Per quanto detto poc'anzi, ogni maledetto punto di A è circondato, assediato, soffocato, assillato, tormentato, spomiciato da altri punti di A. Insomma A non ha punti isolati.
E tu? Che mi dici dell'insieme B?
Mi sai dire se i seguenti punti di B sono per B punti frontiera e/o di accumulazione?
x=-3, x=-2, x=-1, x=0, x=1.
Aspetto tue nuove. Ma ti dico subito: punti isolati, neanche l'ombra! Giusto?
"Davimal":
C'è una parentesi quadra rovesciata nel tuo testo; inoltre hai usato la lettera U al posto del simbolo di "unione" fra insiemi. Giusto?
Veniamo ora all'insieme A.
E tu? Che mi dici dell'insieme B?
Mi sai dire se i seguenti punti di B sono per B punti frontiera e/o di accumulazione?
x=-3, x=-2, x=-1, x=0, x=1.
Aspetto tue nuove. Ma ti dico subito: punti isolati, neanche l'ombra! Giusto?
Ehm....ho usato la U per l'unione mentre parentesi quadra rovesciata deve essere stata una svista involontaria
Che bello poter seguire una spiegazione come la tua....vediamo però se ho afferrato il concetto, provando con insieme B.
Per quanto riguarda l'insieme B: essendo ogni razionale circondato da punti irrazionale, in ogni intorno di x compreso tra i due estremi, -2 e 0, trovo punti di B e punti del complementare. Pertanto ogni x è di frontiera. Per i punti di accumulazione, i numeri razionali sono infiniti in B per ogni intorno di numero razionale. Non vi sono punti isolati...
-3 è esterno. -2 di frontiera come 0, -1 interno , 1 esterno.
Bene finora. Però devo dirti che non hai tratto la debita conclusione che: tutti i punti di B sono punti di accumulazione per B. Per i punti di frontiera hai, sì, tratto l'esplicita (ed esatta) conclusione. Se non fai lo stesso per i punti di accumulazione il tuo ragionamento resta monco e la conclusione sottintesa. Non basta. Devi sempre decisamente assumerti la responsabilità di ciò che ritieni di aver dimostrato. Per chiarezza e per correttezza verso gli interlocutori.
Ora sai dirmi se x=-2 è punto di accumulazione per B?
E che dire di x=0? Si tratta di un punto di accumulazione?
Ora sai dirmi se x=-2 è punto di accumulazione per B?
E che dire di x=0? Si tratta di un punto di accumulazione?
si, sono entrambi punti di accumulazione. Grazie infinite 
, alex
, alex
Salve, ho un dubbio su questa affermazione: ogni punto interno di $A$ è un punto di accumulazione di $A$.
Se per esempio $A={1/n, n in \N}$, il punto $1/2$, interno ad $A$, non mi sembra di accumulazione, perché posso scegliere un intorno in cui non cadono punti di $A$ (tra $1/2$ e $1/3$). Qualcuno può farmi luce? Grazie
Se per esempio $A={1/n, n in \N}$, il punto $1/2$, interno ad $A$, non mi sembra di accumulazione, perché posso scegliere un intorno in cui non cadono punti di $A$ (tra $1/2$ e $1/3$). Qualcuno può farmi luce? Grazie
Mi rispondo da solo...
$1/2$, anche se appartiene all'insieme, non è un punto interno all'insieme, per definizione di punto interno.
Mi sono lasciato distrarre dal significato grammaticale di punto "interno" :'D
$1/2$, anche se appartiene all'insieme, non è un punto interno all'insieme, per definizione di punto interno.
Mi sono lasciato distrarre dal significato grammaticale di punto "interno" :'D
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