Punti critici

[fed_27]

Ciao a tutti sto facendo degli esercizi sui punti critici e avevo qualche dubbio su quest'esercizio

$ f(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4$
$f_x=4x^3-12xy^2=0$
$f_y=-12x^2y+4y^3=0$

mi esce che l'unico punto potrebbe essere (0,0)
vado a farmi il determinante dell'hessiana
e viene 0 quindi devo vedere che cos'è il punto (0,0) in altra maniera
di solito vedo ponendo f(x,mx) e derivo osservo che il valore in (0,0) dipende ora da m quindi che posso dedurre che il punto è una sella?
se mi indicate anche altri metodi per capire il punto trovato con hessiana =0 cos'è mi fate un enorme piacere
grazie

[gugo82]

In questo caso puoi osservare che:

[tex]$f(x,y)=(x-y)^2-4x^2y^2=(x-y+2xy)(x-y-2xy)$[/tex]

e studiare il segno di [tex]$f$[/tex].
Se trovi che intorno a [tex]$\mathfrak{o}=(0,0)$[/tex] la [tex]$f$[/tex] assume valori sia positivi sia negativi, allora [tex]$\mathfrak{o}$[/tex] non è punto di massimo/minimo; se trovi che [tex]$f\geq 0$[/tex] [risp. [tex]$f\leq 0$[/tex]], allora hai un punto di minimo [risp. massimo]; se la disuguaglianza precedente è verificata col [tex]$>$[/tex] [risp. [tex]$<$[/tex]] allora $\mathfrak{o}$ è un minimo [risp. massimo] stretto.