Punti a tangente orizzonatale e verticale (Dini)

[bugger]

Ciao a tutti ragazzi,
ho problemi nel deteminare i punti a tangente orizzontale e verticale di una curva.
Ho ad esempio la seguente curva

$F(x,y)=4(x^4+x^2y^2)-12x^3y+x^2=0$

Di questa ho studiato il sistema

$ { ( 4(x^4+x^2y^2)-12x^3y+x^2=0 ),( 16x^3+8xy^2-36xy^2+2x=0 ):} $

che mi da come soluzioni i punti

$(\frac{3}{2\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}),(-\frac{3}{2\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}})$

Guardando sul libro, mi dice che questi passaggi sono per trovare i punti a tangente orizzontale. Ma come mai? Perché ho studiato il sistema

$ { ( F(x,y ),( F_x(x,y) ):} $

?
Quindi se studio il sistema

$ { ( F(x,y ),( F_y(x,y) ):} $

trovo i punti a tangente verticale?
Ma così facendo non tornano i soliti risultati del libro, ovvero i punti $ x=\pm\frac{1}{\sqrt{5}},y=\pm\frac{3}{2\sqrt{5}} $ e l'asse $y$ privato dei punti $(0,\pm \frac{1}{2})$

Sono molto confuso

[dissonance]

Il vettore $(F_x, F_y)$ è normale alla tua curva. Quindi se si annulla $F_x$, la normale è $(0, \text{qualcosa})$ e perciò è verticale. Ma se la normale è verticale, la tangente (che è ortogonale alla normale) è orizzontale.

[bugger]

Perdonami, sono ancora più confuso da questa risposta. Non è che mi potresti far vedere i passaggi applicati all'esempio?

[dissonance]

No, non mi posso mettere a far conti espliciti. Ma le cose sono piuttosto semplici. Se $(x, y)$ appartiene alla tua curva, allora il vettore $\nabla F(x, y)=(F_x(x, y), F_y(x, y))$ è normale ad essa nel punto $(x, y)$. Quindi il vettore tangente è contenuto nella retta ortogonale a $\nabla F(x, y)$ e passante per $(x, y)$.

Basta riflettere un attimo su questo (facendo un disegnino su carta) per capire subito qual è la condizione corretta da imporre per trovare i punti a tangente orizzontale e verticale.