Provare Convergenza Successione (Contrattiva?)
Salve a tutti,
sto risolvendo degli esercizi per un test di analisi, e mi sono trovato di fronte ad un problema che da solo non riesco a risolvere. Ve lo scrivo:
Provare la convergenza e determinare il limite della successione definita da,
per $ a_1 > 0 $
$ a_{n+1} = 6 \frac{(1 + a_n)} {(7 + a_n)} $
a occhio, sono piuttosto sicuro che la successione sia contrattiva, e se lo fosse la convergenza sarebbe provata. E che non sono in grado di dimostrarlo..qualcuno mi puo aiutare?
inoltre se esiste il limite, esso e uguale a 2, in quanto $L^2 + L - 6 = 0$ da come soluzione 2.
come procedo?
sto risolvendo degli esercizi per un test di analisi, e mi sono trovato di fronte ad un problema che da solo non riesco a risolvere. Ve lo scrivo:
Provare la convergenza e determinare il limite della successione definita da,
per $ a_1 > 0 $
$ a_{n+1} = 6 \frac{(1 + a_n)} {(7 + a_n)} $
a occhio, sono piuttosto sicuro che la successione sia contrattiva, e se lo fosse la convergenza sarebbe provata. E che non sono in grado di dimostrarlo..qualcuno mi puo aiutare?
inoltre se esiste il limite, esso e uguale a 2, in quanto $L^2 + L - 6 = 0$ da come soluzione 2.
come procedo?
Risposte
Basta provare che la successione è convergente.
I caso : \( a_1=2\).
E' facile vedere che \( a_n=2\) per \( n \geq 1\).
II caso \( 0
Se \( 0
Quindi per induzione è \( a_n<2\) per \( n>1\)
Inoltre:
\( \displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{-a_n^2+a_n+6}{7+a_n}=\frac{(2-a_n)(a_n+3)}{7+a_n}>0\)
da cui :
\( 0
La successionè e monotona limitata e esiste il limite.
III caso . Svolgimento analogo.
I caso : \( a_1=2\).
E' facile vedere che \( a_n=2\) per \( n \geq 1\).
II caso \( 0
Se \( 0
Quindi per induzione è \( a_n<2\) per \( n>1\)
Inoltre:
\( \displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{-a_n^2+a_n+6}{7+a_n}=\frac{(2-a_n)(a_n+3)}{7+a_n}>0\)
da cui :
\( 0
La successionè e monotona limitata e esiste il limite.
III caso . Svolgimento analogo.
"DoubleDavey":
Salve a tutti,
sto risolvendo degli esercizi per un test di analisi, e mi sono trovato di fronte ad un problema che da solo non riesco a risolvere. Ve lo scrivo:
Provare la convergenza e determinare il limite della successione definita da,
per $ a_1 > 0 $
$ a_{n+1} = 6 \frac{(1 + a_n)} {(7 + a_n)} $
a occhio, sono piuttosto sicuro che la successione sia contrattiva, e se lo fosse la convergenza sarebbe provata. E che non sono in grado di dimostrarlo..qualcuno mi puo aiutare?
inoltre se esiste il limite, esso e uguale a 2, in quanto $L^2 + L - 6 = 0$ da come soluzione 2.
come procedo?
La 'equazione alle differenze' che definisce la sequenza $a_{n}$ puo' essere scritta come...
$\Delta_{n} = a_{n+1}-a_{n} = \frac{6 - a_{n} - a_{n}^{2}}{7+ a_{n}} = f(a_{n})$ (1)
E' possibile dimostrare che condizione necessaria [ma non sufficiente...] perche' la sequenza $a_{n}$ converga ad un valore $x_{0}$ e' che $x_{0}$ sia un 'punto fisso attrattivo' per la funzionre f(x), ossia f(x) intersechi l'asse x in $x_{0}$ con derivata negativa. Nel nostro caso per $x>-3$ f(x) f(x) ha un solo punto fisso attrattivo in x=2 e in tal caso la condizione $|f^{\ '}(x_{0})|<1$ e' sufficiente perche', qualunque sia $a_{0}>\ -3$, la sequenza converga a 2 in maniera monotona...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Grazie mille per l'aiuto! Perfetto!
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