Provare che la funzione a due variabili è limitata
Buona sera. Trovo difficoltà col seguente esercizio:
provare che la funzione
$f(x,y)= (x^2y)/(x^4+y^4)$ è limitata nell'insieme $X={(x,y)in R^2\(0,0), y>=0. x<=x^2+y^2<=2x}$
si chiede di calcolarne anche l'integrale ma preferisco affrontare un punto per volta.
Inizialmente pensavo di calcolarne il limite , ma non so per quale strana ragione ho riportato su un grafico l'intervallo da considerare ( mediante equazioni $y=0,x=x^2+y^2, x^2+y^2=2x$ Tuttavia, non sono in grado di trarre conclusioni sulla funzione.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Alex
p.s. per l'integrale ho svolto in questo modo:
cambio variabile $x= \rhocos\theta . y=\rhosin\theta. \rho^2=x^2+y^2 , dxdy= \rhod\rhod\theta$
Per gli estremi d'integrazione col cambio di variabile ho qualche difficoltà e perplessità; infatti, mi ritrovo ad avere:
$sin\theta>=0 -> \theta in [0, pi/2]$
$\rhocos\theta<=rho^2<=2\rhocos\theta$ ... ?
La funzione integranda dovrebbe ridursi a :
$ sin\theta/(1-sin^2\theta+sin^4\theta)$ non escludo errori di calcolo.
Non riesco con altri cambi di variabili...
provare che la funzione
$f(x,y)= (x^2y)/(x^4+y^4)$ è limitata nell'insieme $X={(x,y)in R^2\(0,0), y>=0. x<=x^2+y^2<=2x}$
si chiede di calcolarne anche l'integrale ma preferisco affrontare un punto per volta.
Inizialmente pensavo di calcolarne il limite , ma non so per quale strana ragione ho riportato su un grafico l'intervallo da considerare ( mediante equazioni $y=0,x=x^2+y^2, x^2+y^2=2x$ Tuttavia, non sono in grado di trarre conclusioni sulla funzione.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Alex
p.s. per l'integrale ho svolto in questo modo:
cambio variabile $x= \rhocos\theta . y=\rhosin\theta. \rho^2=x^2+y^2 , dxdy= \rhod\rhod\theta$
Per gli estremi d'integrazione col cambio di variabile ho qualche difficoltà e perplessità; infatti, mi ritrovo ad avere:
$sin\theta>=0 -> \theta in [0, pi/2]$
$\rhocos\theta<=rho^2<=2\rhocos\theta$ ... ?
La funzione integranda dovrebbe ridursi a :
$ sin\theta/(1-sin^2\theta+sin^4\theta)$ non escludo errori di calcolo.
Non riesco con altri cambi di variabili...
Risposte
"Rigel":
Per il calcolo dell'integrale, io procederei in maniera diretta:
$I = \int_0^2 (\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \frac{x^2 y}{x^4+y^4} dy)dx$
A questo punto puoi fare una sostituzione nell'integrale interno del tipo $u=y^2$:
$I = \int_0^2 \frac{1}{2}(\int_0^{2x-x^2} \frac{x^2}{x^4+u^2}du)dx$.
L'integrale interno lo risolvi facilmente osservando che $\arctan(u/x^2)$ è una primitiva della funzione integranda.
Rigel, sto provando a svolgere il calcolo dell'integrale e mi sono accorto che tu hai dimenticato a calcolare la derivata di u.
Infatti, operando il cambio di variabile $u=y^2 -> sqrtu=y$, calcolando la derivata, ho: $1/2*1/sqrtu du$$=dy$
Come faccio, tuttavia, a calcolarmi l'integrale? mi ritrovo col raccoglimento da te proposto ad avere al denominatore $(x^2+(u/x)^2)sqrtu$ ...
$ \int_0^1 \frac{x^2}{2}(\int_0^{sqrt(x-x^2)} \frac{1}{((x^2)^2+u^2)sqrtu}du)dx$
E' corretto?
L'integrale in questione è $\int \frac{x^2y}{x^4+y^4}dy$.
Col cambio di variabili $u = y^2$ hai $du = 2ydy$, e a numeratore hai proprio il fattore $y$ che ti serve (se preferisci, sarebbe il fattore $\sqrt{u}$ che si semplifica con quello che tu hai scritto a denominatore).
Stai poi attento agli estremi di integrazione: i vecchi estremi erano $0$ e $\sqrt{2x-x^2}$, i nuovi (nella variabile $u$) saranno $0$ e $2x-x^2$.
Col cambio di variabili $u = y^2$ hai $du = 2ydy$, e a numeratore hai proprio il fattore $y$ che ti serve (se preferisci, sarebbe il fattore $\sqrt{u}$ che si semplifica con quello che tu hai scritto a denominatore).
Stai poi attento agli estremi di integrazione: i vecchi estremi erano $0$ e $\sqrt{2x-x^2}$, i nuovi (nella variabile $u$) saranno $0$ e $2x-x^2$.
Grazie mille Rigel.Ho risistemato il tutto 
Buona domenica.
Alex
Buona domenica.
Alex
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