Provare che la funzione a due variabili è limitata
Buona sera. Trovo difficoltà col seguente esercizio:
provare che la funzione
$f(x,y)= (x^2y)/(x^4+y^4)$ è limitata nell'insieme $X={(x,y)in R^2\(0,0), y>=0. x<=x^2+y^2<=2x}$
si chiede di calcolarne anche l'integrale ma preferisco affrontare un punto per volta.
Inizialmente pensavo di calcolarne il limite , ma non so per quale strana ragione ho riportato su un grafico l'intervallo da considerare ( mediante equazioni $y=0,x=x^2+y^2, x^2+y^2=2x$ Tuttavia, non sono in grado di trarre conclusioni sulla funzione.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Alex
p.s. per l'integrale ho svolto in questo modo:
cambio variabile $x= \rhocos\theta . y=\rhosin\theta. \rho^2=x^2+y^2 , dxdy= \rhod\rhod\theta$
Per gli estremi d'integrazione col cambio di variabile ho qualche difficoltà e perplessità; infatti, mi ritrovo ad avere:
$sin\theta>=0 -> \theta in [0, pi/2]$
$\rhocos\theta<=rho^2<=2\rhocos\theta$ ... ?
La funzione integranda dovrebbe ridursi a :
$ sin\theta/(1-sin^2\theta+sin^4\theta)$ non escludo errori di calcolo.
Non riesco con altri cambi di variabili...
provare che la funzione
$f(x,y)= (x^2y)/(x^4+y^4)$ è limitata nell'insieme $X={(x,y)in R^2\(0,0), y>=0. x<=x^2+y^2<=2x}$
si chiede di calcolarne anche l'integrale ma preferisco affrontare un punto per volta.
Inizialmente pensavo di calcolarne il limite , ma non so per quale strana ragione ho riportato su un grafico l'intervallo da considerare ( mediante equazioni $y=0,x=x^2+y^2, x^2+y^2=2x$ Tuttavia, non sono in grado di trarre conclusioni sulla funzione.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Alex
p.s. per l'integrale ho svolto in questo modo:
cambio variabile $x= \rhocos\theta . y=\rhosin\theta. \rho^2=x^2+y^2 , dxdy= \rhod\rhod\theta$
Per gli estremi d'integrazione col cambio di variabile ho qualche difficoltà e perplessità; infatti, mi ritrovo ad avere:
$sin\theta>=0 -> \theta in [0, pi/2]$
$\rhocos\theta<=rho^2<=2\rhocos\theta$ ... ?
La funzione integranda dovrebbe ridursi a :
$ sin\theta/(1-sin^2\theta+sin^4\theta)$ non escludo errori di calcolo.
Non riesco con altri cambi di variabili...
Risposte
A me non sembra limitata in quell'insieme...
Infatti $(x,x)\in X$ per $x>0$ sufficientemente piccolo, ma
$\lim_{x\to 0^+} f(x,x) = +\infty$.
EDIT (a futura memoria): quanto scritto qui è sbagliato. In questo e in alcuni dei successivi post ho risposto senza accorgermi della disequazione $x\le x^2+y^2$ nella definizione del dominio.
Infatti $(x,x)\in X$ per $x>0$ sufficientemente piccolo, ma
$\lim_{x\to 0^+} f(x,x) = +\infty$.
EDIT (a futura memoria): quanto scritto qui è sbagliato. In questo e in alcuni dei successivi post ho risposto senza accorgermi della disequazione $x\le x^2+y^2$ nella definizione del dominio.
Una domanda: come mai col cambio di variabili non sono giunto alla sua illimitatezza?
Rigel, mentre per la y sono possibili i valori all'interno dell'insieme X, per la x, tenendo conto che (x,y) appartiene a $R^2$ privato dell'origine, è possibile assumere il valore 0? Un'altra cortesia, rivolta a te e ai lettori "esperti": è corretto il modo di procedere per il calcolo dell'integrale doppio oppure ho sbagliato scelta nel cambio di variabili?
vi ringrazio
vi ringrazio
up
se qualcuno potesse aiutarmi ne sarei grato. A capire per poter svolgere poi da solo l'esercizio proposto, prima di tutto.
Vi ringrazio.
Alex
se qualcuno potesse aiutarmi ne sarei grato. A capire per poter svolgere poi da solo l'esercizio proposto, prima di tutto.
Vi ringrazio.
Alex
Hai messo in mezzo un povero jacobiano ([tex]$\rho$[/tex]) che non c'entra nulla... Infatti mica stai facendo un integrale!
ma $\rho$ noi la usiamo per indicare r ... non lo jacobiano. Alla fine si sarebbe dovuto capire dal fatto che stavo utilizzando le coordinate polari 
Come ti ha già fatto osservare gugo, quando fai un cambio di variabili in un integrale puoi benissimo ottenere una funzione integranda limitata partendo da una illimitata, visto che moltiplichi per il determinante jacobiano della trasformazione.
Per il calcolo dell'integrale, io procederei in maniera diretta:
$I = \int_0^2 (\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \frac{x^2 y}{x^4+y^4} dy)dx$
A questo punto puoi fare una sostituzione nell'integrale interno del tipo $u=y^2$:
$I = \int_0^2 \frac{1}{2}(\int_0^{2x-x^2} \frac{x^2}{x^4+u^2}du)dx$.
L'integrale interno lo risolvi facilmente osservando che $\arctan(u/x^2)$ è una primitiva della funzione integranda.
L'integrale in $x$ lo puoi poi fare per parti.
Per il calcolo dell'integrale, io procederei in maniera diretta:
$I = \int_0^2 (\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \frac{x^2 y}{x^4+y^4} dy)dx$
A questo punto puoi fare una sostituzione nell'integrale interno del tipo $u=y^2$:
$I = \int_0^2 \frac{1}{2}(\int_0^{2x-x^2} \frac{x^2}{x^4+u^2}du)dx$.
L'integrale interno lo risolvi facilmente osservando che $\arctan(u/x^2)$ è una primitiva della funzione integranda.
L'integrale in $x$ lo puoi poi fare per parti.
Scusami, Rigelse intervengo nella tua spiegazione chiarissima sotto il profilo teorico ed anche pratico, ma vorrei chiederti - date ancora l mie difficoltà nel determinare gli estremi dell'integrale, quali passaggi avessi tu svolto per ricavarti tali estremi. Grazie per la disponibilità e attenzione.
Alex
Alex
Salvo miei errori, il dominio di integrazione $X$ è il semicerchio di raggio 1, centrato in $(1,0)$, che sta nel semipiano $y\ge 0$.
Tale semicerchio può essere parametrizzato in questo modo:
$X = \{(x,y)\in RR^2: 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2x-x^2\}$.
Tale semicerchio può essere parametrizzato in questo modo:
$X = \{(x,y)\in RR^2: 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2x-x^2\}$.
"Rigel":
Salvo miei errori, il dominio di integrazione $X$ è il semicerchio di raggio 1, centrato in $(1,0)$, che sta nel semipiano $y\ge 0$.
Tale semicerchio può essere parametrizzato in questo modo:
$X = \{(x,y)\in RR^2: 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2x-x^2\}$.
E' chiaro il perchè si debbano considerare i punti con $y>=0$ e il perchè tu abbia considerato $y=sqrt(2x-x^2)$ non mi è chiaro però il perchè della x compresa tra zero e due...
Prova a disegnare il (semi)cerchio in questione e dovrebbe essere chiaro.
Fatto.Tutto chiaro. Grazie a tutti.Buona domenica
"Rigel":
Prova a disegnare il (semi)cerchio in questione e dovrebbe essere chiaro.
Rigel, ho disegnato il semicerchio e non mi ero accorto che gli estremi d'integrazione per la x non fossero 0 e 2, bensì 0 e 1. Mi confermi? per quanto riguarda il cambio di variabili per poter svolgere l'integrale, al denominatore , raccogliendo $x^4 $( o $x^2$)dovrebbe essere possibile fare la posizione per l'arctg, ma al numeratore come posso fare per svolgere? ancora non sono pratico con questi cambi di variabile, se non con quelli in coordinate polari
Il cerchio è centrato in $(1,0)$ e ha raggio $1$. La $x$ quindi varia fra $1-1=0$ e $1+1=2$.
Riguardo l'integrale più interno: dovresti saper calcolare le primitive di $\frac{1}{a^2+u^2}$ (con $a\ne 0$); dovrebbero esserti note, visto che stai affrontando un esame di analisi 2.
Riguardo l'integrale più interno: dovresti saper calcolare le primitive di $\frac{1}{a^2+u^2}$ (con $a\ne 0$); dovrebbero esserti note, visto che stai affrontando un esame di analisi 2.
"Rigel":
Il cerchio è centrato in $(1,0)$ e ha raggio $1$. La $x$ quindi varia fra $1-1=0$ e $1+1=2$.
si, rigel...l'integrale più interno ...beh...rivedrò la cosa...
io non ho chiara una cosa: ma quando si devono determinare gli estremi d'integrazione non si devono tener conto delle "parti" in comune, graficamente?
$x^2+y^2\le 2x$ lo puoi scrivere come $(x-1)^2 + y^2 \le 1$; i punti del piano soddisfacenti questa disuguaglianza sono esattamente quelli del cerchio di raggio unitario centrato in $(1,0)$.
Con "integrale più interno" mi riferisco a quanto ti ho scritto alcuni post fa; dopo un cambio di variabili ($u=y^2$) rimaneva un integrale esterno per $0\le x\le 2$ e un integrale interno per $0\le u\le 2x-x^2$.
Con "integrale più interno" mi riferisco a quanto ti ho scritto alcuni post fa; dopo un cambio di variabili ($u=y^2$) rimaneva un integrale esterno per $0\le x\le 2$ e un integrale interno per $0\le u\le 2x-x^2$.
"Rigel":
$x^2+y^2\le 2x$ lo puoi scrivere come $(x-1)^2 + y^2 \le 1$; i punti del piano soddisfacenti questa disuguaglianza sono esattamente quelli del cerchio di raggio unitario centrato in $(1,0)$.
Ti spiego come ho svolto io per determinarm gli estremi a livello grafico:
so che $y>=0$ quindi dovrò considerare soltanto il primo e il secondo quadrante. Ho considerato dapprima l'uguaglianza a sinistra: $x=x^2+y^2$, cioè la circonferenza di centro (1/2,0) e raggio 1/4; pertanto, le parti che dovrò tenere in considerazione sono quelle interne alla circonferenza con $y>=0$, cioè la semicirconferenza nel primo quadrante. Poi considero la disuguaglianza di destra, disegnando l'uguaglianza: $x^2+y^2=2x$, cioè la circonferenza di centro (1,0) e raggio 1...mi sorge un dubbio: quali parti devo considerare? io ricordavo l'intersezione ma sicuramente sto sbagliando!
Ach!
Mi sono accorto adesso di non aver mai letto la disequazione $x\le x^2+y^2$, che individua i punti del piano esteri al cerchio centrato in $(1/2, 0)$ e di raggio $1/2$.
Quindi devi prendere i punti del semipiano $y\ge 0$, interni al cerchio centrato in $(1,0)$ di raggio $1$, ed esterni al cerchio descritto sopra.
Mi sono accorto adesso di non aver mai letto la disequazione $x\le x^2+y^2$, che individua i punti del piano esteri al cerchio centrato in $(1/2, 0)$ e di raggio $1/2$.
Quindi devi prendere i punti del semipiano $y\ge 0$, interni al cerchio centrato in $(1,0)$ di raggio $1$, ed esterni al cerchio descritto sopra.
A questo punto: la funzione è effettivamente limitata in $X$.
Infatti sai che $\sqrt{x-x^2}\le y \le \sqrt{2x-x^2}$ (per $0\le x\le 1/2$), quindi
$0\le f(x,y)\le \frac{x^2\sqrt{2x-x^2}}{x^4+(x-x^2)^2} = \frac{\sqrt{2x-x^2}}{1-2x+2x^2}\le 2\sqrt{2x-x^2}$
che è chiaramente limitata.
Riguardo l'integrale: a quello che ti ho già scritto devi sottrarre l'integrale del semicerchio più piccolo, vale a dire
$\int_0^1(\int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x,y) dy)dx$.
Infatti sai che $\sqrt{x-x^2}\le y \le \sqrt{2x-x^2}$ (per $0\le x\le 1/2$), quindi
$0\le f(x,y)\le \frac{x^2\sqrt{2x-x^2}}{x^4+(x-x^2)^2} = \frac{\sqrt{2x-x^2}}{1-2x+2x^2}\le 2\sqrt{2x-x^2}$
che è chiaramente limitata.
Riguardo l'integrale: a quello che ti ho già scritto devi sottrarre l'integrale del semicerchio più piccolo, vale a dire
$\int_0^1(\int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x,y) dy)dx$.
Per la limitatezza ero riuscito a provarla.
Tranquillo. Ti ringrazio. Adesso è chiaro davvero il tutto. Provo a svolgere l'integrale con la sostituzione da te suggerita....
Tranquillo. Ti ringrazio. Adesso è chiaro davvero il tutto. Provo a svolgere l'integrale con la sostituzione da te suggerita....
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