Provare che $F$ è derivabile nel suo dominio

[^Tipper^1]

Ciao, ho un esercizio in cui mi viene chiesto di provare che $F$ è derivabile nel suo dominio.

$F(x)=int_(0)^(x^3)(tan(t)-t)/log(1+t)dt$

Il dominio, penso sia $t!=0,pi/2,(3/2)pi$

Dopodiché, faccio la derivata prima per controllare che $F'$ non sia non derivabile nei punti del dominio di $F$. Però la derivata prima è nella variabile $x$, mentre il dominio è in $t$.

[Raptorista1]

La $t$ è solo una variabile muta, si usa per non inserire un'altra $x$ che sarebbe scritta come la $x$ della funzione integrale ma da essa indipendente.
Quando fai la derivata, comunque, al posto di $t$ scrivi $x$ senza troppi problemi

[dissonance]

Comunque il dominio non è quello. La $t$ è una variabile muta; quello che tu devi chiederti, invece, è per quali $x$ ha senso parlare di quell'integrale. Per esempio, se $x$ è più grande di $(pi/2)^{1/3}$, nel dominio di integrazione casca un punto di infinito della funzione integranda. Ha senso, in questi casi, parlare di integrale definito? No, infatti si parla di integrale improprio. Devi quindi chiederti: questo integrale improprio è convergente?