Provando a Dimostrare il Teorema dell'Esistenza degli Zeri.
Salve,dopo avere avuto molti consigli dal forum per quanto riguarda le dimostrazioni,ho pensato di provare a dimostrare un teorema,di cui ho già vista la dimostrazione fatta per bisezione;usando un altro metodo.Il teorema in questione è quello di Bolzano sull'esistenza degli zeri,il cui enunciato(se non ricordo male) è:"Consideriamo una funzione \( f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} \) continua(dove $[a,b]$ è un intervallo di $RR$). Supponiamo che $f(a)<0$ e $f(b)>0$(o $f(a)>0$ e $f(b)<0$),allora \( \exists c \in [a,b]:f(c)=0 \) ".
Allora per dimostrare ho provato a procedere così:
"Dato che ogni intervallo su $RR$ è connesso,allora $f(I)$ ($I=[a,b]$) è anche'esso connesso.Per definizione,un insieme è connesso se
\( \exists A,B \subset f(I) : f(I)= A \cup B \wedge A \cap B \neq \emptyset \) (dove $A$ e $B$ sono due insiemi chiusi e non vuoti).Allora prendo \( A=f(I)_0^+=\{\forall x \in I:f(b) \geq f(x)\geq0\} \) e \( B=f(I)_0^-=\{\forall x \in I:f(a) \leq f(x)\leq 0\} \), è ovvio che la loro unione mi dia $f(I)$,e allora la loro intersezione deve essere un insieme non vuoto,ciò è vero se \( \exists c \in [a,b]:f(c)=0 \) .Il teorema è dimostrato(salvo errori)."
Se non vi reca disturbo,potreste dirmi,per favore,se la dimostrazione,anche da un punto di vista formale,è corretta?
Allora per dimostrare ho provato a procedere così:
"Dato che ogni intervallo su $RR$ è connesso,allora $f(I)$ ($I=[a,b]$) è anche'esso connesso.Per definizione,un insieme è connesso se
\( \exists A,B \subset f(I) : f(I)= A \cup B \wedge A \cap B \neq \emptyset \) (dove $A$ e $B$ sono due insiemi chiusi e non vuoti).Allora prendo \( A=f(I)_0^+=\{\forall x \in I:f(b) \geq f(x)\geq0\} \) e \( B=f(I)_0^-=\{\forall x \in I:f(a) \leq f(x)\leq 0\} \), è ovvio che la loro unione mi dia $f(I)$,e allora la loro intersezione deve essere un insieme non vuoto,ciò è vero se \( \exists c \in [a,b]:f(c)=0 \) .Il teorema è dimostrato(salvo errori)."
Se non vi reca disturbo,potreste dirmi,per favore,se la dimostrazione,anche da un punto di vista formale,è corretta?
Risposte
ah,ma quante definizioni esistono di continuità,perchè io ne conosco 4:
1)$\epsilon - \delta$
2)per successioni
3)$lim_(x \rightarrow x_0) f(x)=f(x_0)$
4)per intorni.
1)$\epsilon - \delta$
2)per successioni
3)$lim_(x \rightarrow x_0) f(x)=f(x_0)$
4)per intorni.
Il problema è: per te una funzione da dove a dove può andare nel caso più generale che hai in mente?
Beh,nel caso più in generale,una funzione può andare da qualunque insieme ad un altro insieme qualunque,anche se in analisi 1,che io sappia,ci si rifà solo alle funzioni da $RR$ in $RR$;giusto?
"mklplo":
nel caso più in generale,una funzione può andare da qualunque insieme ad un altro insieme qualunque
Questo è ovvio (anzi, è falso), ma quello che intendeva Bremen000 (credo) è un po' diverso: vuole sapere qual è il tipo di funzione più generale (nel senso che il dominio e il codominio sono generali) possibile che conosci per le quali ha senso chiedersi se sono continue.
anche se in analisi 1,che io sappia,ci si rifà solo alle funzioni da $RR$ in $RR$
Limitarsi a tutto $RR$ come dominio non ha senso, infatti in genere si considerano funzioni da sottoinsiemi di $RR$ in $RR$.
Si in analisi 1 è così. La dimostrazione di cui stiamo parlando non è da analisi 1 e coinvolge nozioni di topologia. Supponiamo che tu lavori solo con funzioni da $ A \subset RR$ in $RR$ allora le definizioni che hai scritto sono equivalenti, per essere precisi:
Definizioni di aperti, chiusi, intorni e punti di accumulazione:
Definizioni di limite e continuità che dovrebbero esserti note e loro equivalenze:
Ti faccio notare che nelle due proposizioni c'è un "se e solo se", quindi ognuna di esse poteva essere presa come definizione di limite e in tal caso si dovrebbe trattare quella che ho chiamato definizione di limite e la proposizione rimanente come proposizioni.
Infine, la definizione topologica di continuità, con la premessa della seguente definizione:
Definizione
Sia $A \subset Y \subset RR$, diciamo che $A$ è aperto in $Y$ se esiste $D$ aperto in $RR$ tale che $A= D \cap Y$.
[Ad esempio $[0,2)$ è aperto in $[0,3]$ poiché $[0,2] = [0,3] \cap (-1,2)$]
Proposizione
Sia $f : A \subset RR \to RR$, $f$ è continua in $A$ se e solo se $f^{-1}(D)$ è aperto (risp. chiuso) in $A$ per ogni $D$ aperto (risp. chiuso) in $RR$.
Spero che così il quadro ti sia un po' più chiaro!
In spazi più generali la definizione di limite che si salva è quella con gli intorni ma la definizione di continuità più utilizzata è l'ultima.
Definizioni di aperti, chiusi, intorni e punti di accumulazione:
Definizioni di limite e continuità che dovrebbero esserti note e loro equivalenze:
Ti faccio notare che nelle due proposizioni c'è un "se e solo se", quindi ognuna di esse poteva essere presa come definizione di limite e in tal caso si dovrebbe trattare quella che ho chiamato definizione di limite e la proposizione rimanente come proposizioni.
Infine, la definizione topologica di continuità, con la premessa della seguente definizione:
Definizione
Sia $A \subset Y \subset RR$, diciamo che $A$ è aperto in $Y$ se esiste $D$ aperto in $RR$ tale che $A= D \cap Y$.
[Ad esempio $[0,2)$ è aperto in $[0,3]$ poiché $[0,2] = [0,3] \cap (-1,2)$]
Proposizione
Sia $f : A \subset RR \to RR$, $f$ è continua in $A$ se e solo se $f^{-1}(D)$ è aperto (risp. chiuso) in $A$ per ogni $D$ aperto (risp. chiuso) in $RR$.
Spero che così il quadro ti sia un po' più chiaro!
In spazi più generali la definizione di limite che si salva è quella con gli intorni ma la definizione di continuità più utilizzata è l'ultima.
Grazie per le risposte.
@otta96:come funzioni continue,quelle che hanno dominio e codominio più "ampio"(che io conosco) sono quelle che vanno da tutto $CC^n$ ad $CC^n$.(comunque,cosa c'è di falso nell'affermazione che prima hai citato? esistono casi più generali o mi sono dimenticato qualche limitazione che devono avere gli insiemi?)
@Bremen000:quindi tutte le definizioni che conosco di continuità derivano dal rapporto fra continuità e limiti(che ha più definizioni di quelle che conoscevo);mentre quella che ho chiamato proprietà era in realtà una definizione che "assestante"(ed anche la più usata) ma che comunque è equivalente.Giusto?
(p.s:ma per sapere,topologia generale quanto si studia?
perchè ogni volta che faccio una dimostrazione ad un teorema di analisi 1 mi ritrovo sempre con argomenti di topologia in mezzo)
@otta96:come funzioni continue,quelle che hanno dominio e codominio più "ampio"(che io conosco) sono quelle che vanno da tutto $CC^n$ ad $CC^n$.(comunque,cosa c'è di falso nell'affermazione che prima hai citato? esistono casi più generali o mi sono dimenticato qualche limitazione che devono avere gli insiemi?)
@Bremen000:quindi tutte le definizioni che conosco di continuità derivano dal rapporto fra continuità e limiti(che ha più definizioni di quelle che conoscevo);mentre quella che ho chiamato proprietà era in realtà una definizione che "assestante"(ed anche la più usata) ma che comunque è equivalente.Giusto?
(p.s:ma per sapere,topologia generale quanto si studia?
perchè ogni volta che faccio una dimostrazione ad un teorema di analisi 1 mi ritrovo sempre con argomenti di topologia in mezzo)
Si giusto. Il problema è che in questa dimostrazione non potevi prescindere dall’ultima caratterizzazione della continuità.
Penso che topologia generale appaia in corsi di geometria solo a matematica. A ingegneria in maniera ridottissima. Altrove direi 0.
Ma questo teorema si può dimostrare anche senza la topologia (cioè non usandola esplicitamente): come hai detto si può fare per bisezione. E direi tutta l’analisi 1 si può fare senza sapere bene la topologia generale.
Penso che topologia generale appaia in corsi di geometria solo a matematica. A ingegneria in maniera ridottissima. Altrove direi 0.
Ma questo teorema si può dimostrare anche senza la topologia (cioè non usandola esplicitamente): come hai detto si può fare per bisezione. E direi tutta l’analisi 1 si può fare senza sapere bene la topologia generale.
ah,ok,quindi in pratica,me la sono scelta da solo questa strada;comunque,per quel che riguarda la topologia,intendevo dire in che anno si studia se si fanno corsi di geometria in matematica?
Quello che volevo dire è che la topologia è studiata nei corsi di geometria a matematica. A matematica si fanno corsi di geometria in tutti gli anni (credo) e che io sappia di solito topologia generale la si fa al secondo anno in qualcosa tipo "geometria 2".
Tuttavia non sono un matematico quindi prendi con la dovuta cautela queste informazioni!
Tuttavia non sono un matematico quindi prendi con la dovuta cautela queste informazioni!
ok,grazie per tutto l'aiuto.
Di niente!
"mklplo":
come funzioni continue,quelle che hanno dominio e codominio più "ampio"(che io conosco) sono quelle che vanno da tutto $CC^n$ ad $CC^n$
Funzioni molto più generali di quelle che conosci tu, su cui si possa parlare di continuità sono quelle che hanno come dominio e codominio gli spazi topologici, ma per il momento non è una cosa che dovrebbe interessarti più di tanto, per ora preoccupati di cose più base.
(comunque,cosa c'è di falso nell'affermazione che prima hai citato? esistono casi più generali o mi sono dimenticato qualche limitazione che devono avere gli insiemi?)
È più che altro un dettaglio, ma non puoi prendere come dominio e codominio per una funzione insiemi completamente arbitrari, c'è l'unica limitazione che non puoi prendere come codominio l'insieme vuoto e come dominio uno non vuoto.
"Bremen000":
Quello che volevo dire è che la topologia è studiata nei corsi di geometria a matematica. A matematica si fanno corsi di geometria in tutti gli anni (credo) e che io sappia di solito topologia generale la si fa al secondo anno in qualcosa tipo "geometria 2".
Confermo, per me è stato così e penso che sia lo stesso in molti altri posti.
@otta96:grazie per aver risposto,primo non sapevo del fatto degli spazi topologici,ma come hai detto,sono argomenti più avanzati(infatti da come hai confermato,si fanno al secondo anno,e dato che ora sto imparando a fare le dimostrazioni,e comunque devo ancora finire gli argomenti del primo anno,mi ci vorrà ancora un po' di tempo);mentre mi ero totalmente dimenticato del fatto che il codominio non potesse essere l'insieme vuoto se il dominio fosse non vuoto.
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