Provando a Dimostrare il Teorema dell'Esistenza degli Zeri.
Salve,dopo avere avuto molti consigli dal forum per quanto riguarda le dimostrazioni,ho pensato di provare a dimostrare un teorema,di cui ho già vista la dimostrazione fatta per bisezione;usando un altro metodo.Il teorema in questione è quello di Bolzano sull'esistenza degli zeri,il cui enunciato(se non ricordo male) è:"Consideriamo una funzione \( f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} \) continua(dove $[a,b]$ è un intervallo di $RR$). Supponiamo che $f(a)<0$ e $f(b)>0$(o $f(a)>0$ e $f(b)<0$),allora \( \exists c \in [a,b]:f(c)=0 \) ".
Allora per dimostrare ho provato a procedere così:
"Dato che ogni intervallo su $RR$ è connesso,allora $f(I)$ ($I=[a,b]$) è anche'esso connesso.Per definizione,un insieme è connesso se
\( \exists A,B \subset f(I) : f(I)= A \cup B \wedge A \cap B \neq \emptyset \) (dove $A$ e $B$ sono due insiemi chiusi e non vuoti).Allora prendo \( A=f(I)_0^+=\{\forall x \in I:f(b) \geq f(x)\geq0\} \) e \( B=f(I)_0^-=\{\forall x \in I:f(a) \leq f(x)\leq 0\} \), è ovvio che la loro unione mi dia $f(I)$,e allora la loro intersezione deve essere un insieme non vuoto,ciò è vero se \( \exists c \in [a,b]:f(c)=0 \) .Il teorema è dimostrato(salvo errori)."
Se non vi reca disturbo,potreste dirmi,per favore,se la dimostrazione,anche da un punto di vista formale,è corretta?
Allora per dimostrare ho provato a procedere così:
"Dato che ogni intervallo su $RR$ è connesso,allora $f(I)$ ($I=[a,b]$) è anche'esso connesso.Per definizione,un insieme è connesso se
\( \exists A,B \subset f(I) : f(I)= A \cup B \wedge A \cap B \neq \emptyset \) (dove $A$ e $B$ sono due insiemi chiusi e non vuoti).Allora prendo \( A=f(I)_0^+=\{\forall x \in I:f(b) \geq f(x)\geq0\} \) e \( B=f(I)_0^-=\{\forall x \in I:f(a) \leq f(x)\leq 0\} \), è ovvio che la loro unione mi dia $f(I)$,e allora la loro intersezione deve essere un insieme non vuoto,ciò è vero se \( \exists c \in [a,b]:f(c)=0 \) .Il teorema è dimostrato(salvo errori)."
Se non vi reca disturbo,potreste dirmi,per favore,se la dimostrazione,anche da un punto di vista formale,è corretta?
Risposte
Ciao, essenzialmente è corretta ma ci sono alcune imprecisioni/inesattezze.
1. Appena iniziata la dimostrazione devi dire che ti stai mettendo nel caso $f(b)>0>f(a)$.
2.
No, un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $X$ è connesso se presi due qualsiasi sottoinsiemi di $Y$ non vuoti, $A$ e $B$ chiusi in $Y$ (e non necessariamente in $X$) tali che la loro unione sia $Y$ allora la loro intersezione è non vuota.
3. Per la correzione fatta sopra allora puoi scegliere i due chiusi che più ti aggradano, ovvero (che è la scelta giusta) i tuoi $f(I)_0^+$ e $f(I)_0^-$ anche se dovresti controllare che siano ben definiti.. come?
4.
La 1 è solo un'imprecisione, la 3 e la 4 sono per vedere se hai capito e la 2 è proprio un errore.
1. Appena iniziata la dimostrazione devi dire che ti stai mettendo nel caso $f(b)>0>f(a)$.
2.
"mklplo":
[...] Per definizione,un insieme è connesso se
\( \exists A,B \subset f(I) : f(I)= A \cup B \wedge A \cap B \neq \emptyset \) (dove $ A $ e $ B $ sono due insiemi chiusi e non vuoti).[...]
No, un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $X$ è connesso se presi due qualsiasi sottoinsiemi di $Y$ non vuoti, $A$ e $B$ chiusi in $Y$ (e non necessariamente in $X$) tali che la loro unione sia $Y$ allora la loro intersezione è non vuota.
3. Per la correzione fatta sopra allora puoi scegliere i due chiusi che più ti aggradano, ovvero (che è la scelta giusta) i tuoi $f(I)_0^+$ e $f(I)_0^-$ anche se dovresti controllare che siano ben definiti.. come?
4.
"mklplo":Perché?
[...] deve essere un insieme non vuoto,ciò è vero se $\exists c \in [a,b]:f(c)=0$ [...]
La 1 è solo un'imprecisione, la 3 e la 4 sono per vedere se hai capito e la 2 è proprio un errore.
Tre cose:
[*:2bu6kmev] Un sottoinsieme di $RR$ è connesso se e solo se è un intervallo;[/*:m:2bu6kmev]
[*:2bu6kmev] quella non è la definizione di spazio connesso. $A$ è connesso se non esistono due suoi sottoinsiemi chiusi (o aperti) e disgiunti $A_1,A_2$ tali che $A= A_1\cup A_2$;[/*:m:2bu6kmev]
[*:2bu6kmev] come dimostri che se $f$ è continua e $I$ è un intervallo, allora $f(I)$ è un intervallo? Questa proprietà è equivalente al teorema degli zeri (nel senso che l'una implica l'altro e viceversa) e di solito viene dimostrata a partire da questo. Tra l'altro ne puoi fare benissimamente a meno. [/*:m:2bu6kmev][/list:u:2bu6kmev]
Rielaborando quella che - credo - fossa la tua idea iniziale, si può far così: si ha che $f$ ha minimo $m$ e massimo $M$ in $I$, essendo $I$ compatto e $f$ continua. Inoltre risulta, grazie alle ipotesi, $m\le f(a)<0
Poiché $f$ è continua e poiché gli insiemi $[m,0]$ e $[0,M]$ sono chiusi, allora anche le loro controimmagini sono dei chiusi (non vuoti). Poiché $I$ è connesso, non è possibile che
\[f^{-1}([m,0])\cap f^{-1}([0,M])=\varnothing,\]
dunque
\[\exists c\in f^{-1}( [m,0] )\cap f^{-1}( [0,M] )=f^{-1}(\{0\}),\]
cioè $f(c)=0$.
EDIT: @Bremen000: mi hai preceduto di qualche secondo
@Plepp: succede! Tu hai anche sistemato il tutto, quindi una risposta in più è meglio di una in meno direi!
Mh, ripensandoci: è superfluo tirare in ballo la compattezza dell'intervallo e quindi il fatto che $f$ ha massimo e minimo. Si può sostituire $[m,0]$ e $[0,M]$ con $(-\infty,0]$ e $[0,+\infty)$.
Io in effetti l'avevo pensata con massimo e minimo ma avevo lasciato i dettagli a mklplo 
Così però è molto meglio: un teorema usato in meno!
Così però è molto meglio: un teorema usato in meno!
Grazie a entrambi per le risposte.
@Bremen000:per quanto riguarda il punto "3" cosa intendi con ben definiti?
Invece,per il 4,ho fatto quell'affermazione perchè l'intersezione dei due insiemi deve essere non vuota,ma avendo in comune solo lo "0" allora deve "\exists c \in [a,b]:f(c)=0".
@Plepp:per quanto riguarda questa domanda:"come dimostri che se f è continua e I è un intervallo, allora f(I) è un intervallo? ",ho usato la questa proprietà per due ragioni,la prima è che non mi veniva nessun altro modo per dimostrare il teorema,la seconda ragione è che conosco(avendola letta) la dimostrazione del fatto che,se $f$ è continua e $I$ è un intervallo allora $f(I)$ è un intervallo .E se non ricordo male la dimostrazione si fa per assurdo,e si usa il teorema che afferma:"$E$ è un insieme connesso se e solo se gli unici insiemi aperti e chiusi contenuti o uguali ad $E$,sono $\emptyset$ ed $E$ stesso";giusto?
Comunque,la tua dimostrazione,onestamente è migliore(si vede che ho ancora tantissima strada da fare),in quanto non usa un teorema come quello che ho usato io,che andrebbe dimostrato,e dato che nella dimostrazione uso un'altro teorema ancora,dovrei dimostrare pure quello.
@Bremen000:per quanto riguarda il punto "3" cosa intendi con ben definiti?
Invece,per il 4,ho fatto quell'affermazione perchè l'intersezione dei due insiemi deve essere non vuota,ma avendo in comune solo lo "0" allora deve "\exists c \in [a,b]:f(c)=0".
@Plepp:per quanto riguarda questa domanda:"come dimostri che se f è continua e I è un intervallo, allora f(I) è un intervallo? ",ho usato la questa proprietà per due ragioni,la prima è che non mi veniva nessun altro modo per dimostrare il teorema,la seconda ragione è che conosco(avendola letta) la dimostrazione del fatto che,se $f$ è continua e $I$ è un intervallo allora $f(I)$ è un intervallo .E se non ricordo male la dimostrazione si fa per assurdo,e si usa il teorema che afferma:"$E$ è un insieme connesso se e solo se gli unici insiemi aperti e chiusi contenuti o uguali ad $E$,sono $\emptyset$ ed $E$ stesso";giusto?
Comunque,la tua dimostrazione,onestamente è migliore(si vede che ho ancora tantissima strada da fare),in quanto non usa un teorema come quello che ho usato io,che andrebbe dimostrato,e dato che nella dimostrazione uso un'altro teorema ancora,dovrei dimostrare pure quello.
"mklplo":
@Plepp:per quanto riguarda questa domanda:"come dimostri che se f è continua e I è un intervallo, allora f(I) è un intervallo? ",ho usato la questa proprietà per due ragioni,la prima è che non mi veniva nessun altro modo per dimostrare il teorema,la seconda ragione è che conosco(avendola letta) la dimostrazione del fatto che,se $ f $ è continua e $ I $ è un intervallo allora $ f(I) $ è un intervallo
In realtà ti sei confuso, quella proprietà non l'hai usata affatto. Hai fatto un po' un pasticcio
Mi spiego: definiti $A$ e $B$ come hai fatto tu, non si ha $A\cup B= f(I)$, in quanto $A,B$ sono sottoinsiemi di $I$, non di $f(I)$. Non si ha nemmeno $A\cup B=I$ ma solo $A\cup B\subseteq I$, in quanto è possibile che in $I$ esistano punti $x$ in cui $f(x)\notin [f(a),f(b)]$ (che ne so, pensa a $f(x)=\sin x$ in $I=[-\pi/2-1,\pi/2+1]$).
Se definisci invece $A$ e $B$ come ho fatto io, si ha l'uguaglianza. La continuità di $f$ la usi per dire che $A$ e $B$ sono chiusi, e concludi grazie alla connessione di $I$ (non di $f(I)$).
Se avessi voluto sfruttare la suddetta proprietà (se $f$ è continua manda intervalli in intervalli), non ci sarebbe stato granché da dimostrare: dato che $f(I)$ è un intervallo e $f(a)<0
"mklplo":
E se non ricordo male la dimostrazione si fa per assurdo,e si usa il teorema che afferma:"$ E $ è un insieme connesso se e solo se gli unici insiemi aperti e chiusi contenuti o uguali ad $ E $,sono $ \emptyset $ ed $ E $ stesso";giusto?
Quella è la definizione di spazio connesso (una delle tante equivalenti). Per dimostrare che $f$ continua manda intervalli in intervalli puoi ragionare in mille modi, dipende da ciò che hai a disposizione. Di solito questa proprietà viene enunciata come un corollario del teorema degli zeri e si dimostra in un attimo: se $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)\in f(I)$ e $y\in (y_1,y_2)$ (supposto $y_1
"mklplo":
Grazie a entrambi per le risposte.
@Bremen000:per quanto riguarda il punto "3" cosa intendi con ben definiti?
Intendo dire che tu hai assunto che $f(a)$ e $f(b)$ sono minimo e massimo della funzione in $I$ ma non è detto. E poi hai scritto, o inteso, che sono sottoinsiemi di $f(I)$ mentre sono sottoinsiemi di $I$. Insomma tutte cose che ti ha detto nel dettaglio Plepp!
Giusto,ho definito male $A$ e $B$,in realtà intendevo con $A$ l'insieme $ \forall y \in f(I):f(b) \geq y \geq 0$,mentre con $B$,l'insieme $ \forall y \in f(I):f(a) \leq y \leq 0$.Invece,ho definito $A$ come l'insieme delle $x$ per cui $f(b) \geq f(x) \geq 0$ e per B stessa cosa.In pratica,ho combinato i peggiori guai.Però ridefinendo così gli insiemi,la dimostrazione sarebbe andata bene(scrivendo anche bene la definizione di connesso e la parte $f(b)>0>f(a)$)?
No, sarebbe sbagliato, guarda il primo messaggio di Plepp magari con la modifica che suggerisce nel suo secondo messaggio.
Ti ripeto che il minimo della funzione non è $f(a)$ o $f(b)$, idem per il massimo.
P.S. : quando definisci un insieme, all’inizio, il $\forall$ non ci va!
Ti ripeto che il minimo della funzione non è $f(a)$ o $f(b)$, idem per il massimo.
P.S. : quando definisci un insieme, all’inizio, il $\forall$ non ci va!
Infatti,adesso che ci ho pensato,se $f(a)$ e $f(b)$ non fossero il minimo e il massimo,allora l'unione di $A$ e di $B$,non sarebbe $f(I)$,in pratica per farlo bene dovevo definire $B$ limitato solo superiormente e $A$ inferiormente;giusto?
p.s:quindi quando definisco un insieme,all'inizio non posso usare quantificatori?
p.s:quindi quando definisco un insieme,all'inizio non posso usare quantificatori?
Esatto. Cioè quasi. Non è $B$ che è illimitato inferiormente ma devi prendere $B= f^{-1}((-\infty,0])$ e analogamente con $A$.
Nota che $A,B \subset I$.
Quando definisci un insieme, tipo quello dei naturali pari scrivi:
$\mathbb{P} = \{ n \in NN : \exists m=m(n) \in NN | n=2m \}$
e non usi i quantificatori all’inizio.
Nota che $A,B \subset I$.
Quando definisci un insieme, tipo quello dei naturali pari scrivi:
$\mathbb{P} = \{ n \in NN : \exists m=m(n) \in NN | n=2m \}$
e non usi i quantificatori all’inizio.
Ah,ok,ma quindi anche il definire $A={y \in f(I):y \geq 0}$ e $B={y \in f(I):y \leq 0}$,è un errore,per quanto riguarda la dimostrazione iniziale?
Certo, non ha proprio senso. I passi sono
0. Mettiamoci nell'ipotesi $f(a) <0 < f(b)$
1. $f^{-1}((-\infty, 0]) = \{ x \in I : f(x)<=0 \} \subset I$ è chiuso perché controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua e inoltre è non vuoto poiché $a$ appartiene a tale insieme.
2. $f^{-1}([0, +\infty)) = \{ x \in I : f(x)>=0 \} \subset I$ è chiuso perché controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua e inoltre è non vuoto poiché $b$ appartiene a tale insieme.
3.$f^{-1}((-\infty, 0]) \cup f^{-1}([0, +\infty)) = f^{-1} ((-\infty, 0] \cup [0, +\infty)) = f^{-1}(RR) = I$.
4. Poiché abbiamo trovato due chiusi non vuoti la cui unione è $I$, per la connessione di $I$ deve accadere che hanno intersezione non vuota, ovvero esiste un $c \in I$ t.c. $f(c)=0$
Ti è chiara questa procedura? Attento bene a cosa è un sottoinsieme di cosa, stiamo lavorando su $I$, non su $f(I)$.
Da considerare solo se hai capito bene quello che c'è scritto prima:
0. Mettiamoci nell'ipotesi $f(a) <0 < f(b)$
1. $f^{-1}((-\infty, 0]) = \{ x \in I : f(x)<=0 \} \subset I$ è chiuso perché controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua e inoltre è non vuoto poiché $a$ appartiene a tale insieme.
2. $f^{-1}([0, +\infty)) = \{ x \in I : f(x)>=0 \} \subset I$ è chiuso perché controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua e inoltre è non vuoto poiché $b$ appartiene a tale insieme.
3.$f^{-1}((-\infty, 0]) \cup f^{-1}([0, +\infty)) = f^{-1} ((-\infty, 0] \cup [0, +\infty)) = f^{-1}(RR) = I$.
4. Poiché abbiamo trovato due chiusi non vuoti la cui unione è $I$, per la connessione di $I$ deve accadere che hanno intersezione non vuota, ovvero esiste un $c \in I$ t.c. $f(c)=0$
Ti è chiara questa procedura? Attento bene a cosa è un sottoinsieme di cosa, stiamo lavorando su $I$, non su $f(I)$.
Da considerare solo se hai capito bene quello che c'è scritto prima:
ok,ora mi è chiaro il procedimento,però ti dispiace se ti faccio una domanda banale?
io non ho mai capito perchè la controimmagine di un chiuso è un chiuso mentre la sua immagine può essere anche un aperto.Se non ti dispiace,potresti chiarirmi questo dubbio?
io non ho mai capito perchè la controimmagine di un chiuso è un chiuso mentre la sua immagine può essere anche un aperto.Se non ti dispiace,potresti chiarirmi questo dubbio?
Considera la funzione
$f : RR \to RR$ tale che $x \mapsto f(x)=e^{-x^2}$
È continua?
Quale è l’immagine di $(-\infty, 0]$?
$f : RR \to RR$ tale che $x \mapsto f(x)=e^{-x^2}$
È continua?
Quale è l’immagine di $(-\infty, 0]$?
Sul fatto che la funzione sia continua penso di essere abbastanza sicuro,per quanto riguarda l'immagine penso che sia,ad occhio,l'intervallo $(0,1]$;giusto?
Esatto! Ma $(-\infty, 0]$ è chiuso mentre $(0,1]$ non è chiuso! Tutto ciò nonostante la funzione sia continua!
EDIT: Rileggo ora il tuo penultimo messaggio, la controimmagine di un chiuso è un chiuso se (e solo se) la funzione è continua. In generale non è vero.
EDIT: Rileggo ora il tuo penultimo messaggio, la controimmagine di un chiuso è un chiuso se (e solo se) la funzione è continua. In generale non è vero.
ok grazie,ma perché per le controimmagini di funzioni continue vale questa proprietà?
Eh qua entriamo in un terreno delicato. Al solito, hai affrontato una dimostrazione con strumenti di topologia senza conoscerne la basi purtroppo. Quella che tu chiami proprietà è la definizione di funzione continua.
Poi si può dimostrare che per le funzioni da $RR$ in $RR$ la definizione che conosci tu ( $\epsilon - \delta$ ) è equivalente a quella “vera” che hai chiamato proprietà.
Poi si può dimostrare che per le funzioni da $RR$ in $RR$ la definizione che conosci tu ( $\epsilon - \delta$ ) è equivalente a quella “vera” che hai chiamato proprietà.
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