Proprietà o piccolo!

[Jonhson91]

Salve, ho un problema con le proprietà dell'o piccolo! Non le trovo complete.

Per esempio sulla differenza, so solamente che o(x)+o(x) = o(x)-o(x) = o(x) ma non so come comportarmi se mi trovo di fronte alla differenza fra 2 o piccoli di funzioni con gradi differenti.

Oppure anche un o piccolo elevato a potenza.

Stavo cercando di sostituire gli sviluppi degli o piccoli in un limite ma ho incontrato delle difficoltà:

Qui ad esempio:
$ sen^3(2x) = [2x - o(x^2)]^3 = 8x^3 + [-o(x^2)]^3-12x*o(x^2)+6x*[o(x^2)]^2 $

Mi blocco subito perchè non so come comportarmi con gli elevati a potenza e con le sottrazioni in seguito. Qualcuno può aiutarmi?

[ciampax]

Qui trovi tutte le risposte: i-simboli-di-landau-t66257.html

[Jonhson91]

Ecco anche qui trovo le stesse proprietà. Evidentemente sono io che non capisco certe cose allora.

Per esempio se mi trovo in questa situazione: $ [o(x)] /x^2 $ Quanto fa?

L'unica proprietà sulla divisione che ho trovato è questa: $ [o(x^(a+b))] / x^b = o(x^a) $ Ma se la funzione al denominatore è più "grande"? Non posso dire niente?

[gugo82]

"Jonhson91":Ecco anche qui trovo le stesse proprietà. Evidentemente sono io che non capisco certe cose allora.

Per esempio se mi trovo in questa situazione: $ [o(x)] /x^2 $ Quanto fa?

L'unica proprietà sulla divisione che ho trovato è questa: $ [o(x^(a+b))] / x^b = o(x^a) $ Ma se la funzione al denominatore è più "grande"? Non posso dire niente?

No, non puoi.

Ad esempio, prendi \(f(x)=x^{4/3},\ g(x)=x^2,\ h(x)=x \sin^2 x\): evidentemente \(f,g,h\) sono \(\text{o}(x)\) per \(x\to 0\), però risulta:
\(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^2}= +\infty,\ \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x^2}=1,\ \lim_{x\to 0} \frac{h(x)}{x^2}= 0\; .\)