Proprietà di gruppo del flusso
Ho capito cosa si intende, ma non riesco a dare un significato corretto alla formula
\[
x(t+s,t_{0},x_{0})=x(s,t+t_{0},x(t,t_{0},x_{0}))
\]
Avendo tre tempi $t_{0},t_{1},t_{2}$ direi che
\[
x(t_{2},t_{0},x_{0})=x(t_{2},t_{1},x(t_{1},t_{0}))
\]
Che non riesco a trasformare nella prima con un cambio di variabile.
\[
x(t+s,t_{0},x_{0})=x(s,t+t_{0},x(t,t_{0},x_{0}))
\]
Avendo tre tempi $t_{0},t_{1},t_{2}$ direi che
\[
x(t_{2},t_{0},x_{0})=x(t_{2},t_{1},x(t_{1},t_{0}))
\]
Che non riesco a trasformare nella prima con un cambio di variabile.
Risposte
bump
Ma se non spieghi i simboli come vuoi che qualcuno tenti di rispondere???
Bump.
Potete mostrarmi anche una formula equivalente, non necessariamente cercare di spiegarmi che senso ha questa. Mi serve solo per verificare le proprietà di gruppo.
Potete mostrarmi anche una formula equivalente, non necessariamente cercare di spiegarmi che senso ha questa. Mi serve solo per verificare le proprietà di gruppo.
E si, intuitivamente queste cose sono ovvie: se il campo vettoriale \(X\) non dipende dal tempo, allora partendo all'istante \(0\) dalla posizione \(x_0\), avanzando di \(t\) unità temporali fino alla posizione \(\varphi(t, x_0)\) (spero di avere azzeccato la notazione) e poi avanzando da qui di altre \(s\) unità temporali si ottiene lo stesso risultato che partendo da \(x_0\) e avanzando di \(t+s\) unità temporali.
PS: Il tuo libro non comincia all'istante \(0\) ma all'istante \(t_0\). Ma è la stessa cosa.
PS: Il tuo libro non comincia all'istante \(0\) ma all'istante \(t_0\). Ma è la stessa cosa.
$\varphi_{t_{0},t_{2}}$:$=\varphi_{s+t}$
$\varphi_{t_{0},t_{1}}$:$=\varphi_{s}$
$\varphi_{t_{1},t_{2}}$:$=\varphi_{t}$
Definisco l'operazione $\varphi_{s+t}$:=$\varphi_{s} \circ \varphi_{t}$ che deve soddisfare
$\varphi_{(s+t)+u}=(\varphi_{s} \circ \varphi_{t})\circ \varphi_{u}=\varphi_{s} \circ (\varphi_{t}\circ \varphi_{u})=\varphi_{s+(t+u)}$
$\varphi_{s+0}=\varphi_{s} \circ \varphi_{0}=\varphi_{s}\circ I=\varphi_{s}$
$\varphi_{s-s}=\varphi_{s}\circ \varphi_{-s}=I$
La dimostrazione segue direttamente dal fatto che una soluzione è un diffeomorfismo di classe - la classe del campo vettoriale e quindi posso verificare direttamente che le composizioni che ho scritto precedentemente sono valide?
$\varphi_{t_{0},t_{1}}$:$=\varphi_{s}$
$\varphi_{t_{1},t_{2}}$:$=\varphi_{t}$
Definisco l'operazione $\varphi_{s+t}$:=$\varphi_{s} \circ \varphi_{t}$ che deve soddisfare
$\varphi_{(s+t)+u}=(\varphi_{s} \circ \varphi_{t})\circ \varphi_{u}=\varphi_{s} \circ (\varphi_{t}\circ \varphi_{u})=\varphi_{s+(t+u)}$
$\varphi_{s+0}=\varphi_{s} \circ \varphi_{0}=\varphi_{s}\circ I=\varphi_{s}$
$\varphi_{s-s}=\varphi_{s}\circ \varphi_{-s}=I$
La dimostrazione segue direttamente dal fatto che una soluzione è un diffeomorfismo di classe - la classe del campo vettoriale e quindi posso verificare direttamente che le composizioni che ho scritto precedentemente sono valide?
No, non è detto bene. \(\varphi_{s+t}\) non è uguale a \(\varphi_s \circ \varphi_t\) per definizione, come capisco se scrivi
\[\varphi_{s+t}:=\varphi_{s} \circ \varphi_{t}.\]
Devi dimostrare che quell'identità è verificata
\[\varphi_{s+t}:=\varphi_{s} \circ \varphi_{t}.\]
Devi dimostrare che quell'identità è verificata
Vero.
Le orbite, come si dice, come azioni di un gruppo sullo spazio delle fasi mi hanno aiutato a capire cosa è un ritratto di fase, in Meccanica su questo argomento avevo fatto un gran casino. Sto facendo domande partendo da pezzi di un libro di Sistemi Complessi quindi mi fermo qui perché li la teoria l'ho finta e sto facendo domande senza avere le basi
Le orbite, come si dice, come azioni di un gruppo sullo spazio delle fasi mi hanno aiutato a capire cosa è un ritratto di fase, in Meccanica su questo argomento avevo fatto un gran casino. Sto facendo domande partendo da pezzi di un libro di Sistemi Complessi quindi mi fermo qui perché li la teoria l'ho finta e sto facendo domande senza avere le basi
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