Proprietà dell'integrale di Riemann
Ho cercato su diversi testi e online la dimostrazione di queste 3 proprietà dell'integrale di Riemann ma non ho davvero trovare nulla.
siano $f$ e $g$ dall'intervallo $I->R$ Riemann integrabili allora:
$1)$ $f*g$ è integrabile ma $\int_I f(x)dx$ $*$ $\int_I g(x)dx$ $!=$ $\int_I (f*g)(x)dx$
$2)$ se $I= J_1 uu J_2$ , $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $J_1$ e su $J_2$ e vale
$\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_(J_1) f(x)dx$ $+$ $\int_(J_2) f(x)dx$ $-$ $\int_(J_1 nn J_2) f(x)dx$
$3)$ se $f$ e $g$: $I->R$ sono limitate su $I$ limitato e $f=g$ eccetto che in un numero finito di punti allora $f$ è Riemann integrabile se e solo se $g$ lo è e in tal caso $\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_I g(x)dx$
Grazie a chi mi aiuterà
siano $f$ e $g$ dall'intervallo $I->R$ Riemann integrabili allora:
$1)$ $f*g$ è integrabile ma $\int_I f(x)dx$ $*$ $\int_I g(x)dx$ $!=$ $\int_I (f*g)(x)dx$
$2)$ se $I= J_1 uu J_2$ , $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $J_1$ e su $J_2$ e vale
$\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_(J_1) f(x)dx$ $+$ $\int_(J_2) f(x)dx$ $-$ $\int_(J_1 nn J_2) f(x)dx$
$3)$ se $f$ e $g$: $I->R$ sono limitate su $I$ limitato e $f=g$ eccetto che in un numero finito di punti allora $f$ è Riemann integrabile se e solo se $g$ lo è e in tal caso $\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_I g(x)dx$
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
ho provato ma non sono per nulla sicuro del risultato.
allora se $f$ è integrabile vuol dire che esitono $j_n$ e $k_n$ a scala, $k_n<=f<=j_n$ tali che
$0<= \int_I j_n$ $-$ $\int_I k_n$ $->0$
allora $k_n*k_n <=f*f<=j_n*j_n$ dove $k_n*k_n$ e $j_n*j_n$ sono ancora a scala.
il mio dubbio sorge adesso, nel senso che non sono sicuro che
$0<= \int_I j_n*j_n$ $-$ $\int_I k_n*k_n$ $->0$
nel caso ciò fosse vero allora avrei dimostrato che $f^2$ è R integrabile.
allora se $f$ è integrabile vuol dire che esitono $j_n$ e $k_n$ a scala, $k_n<=f<=j_n$ tali che
$0<= \int_I j_n$ $-$ $\int_I k_n$ $->0$
allora $k_n*k_n <=f*f<=j_n*j_n$ dove $k_n*k_n$ e $j_n*j_n$ sono ancora a scala.
il mio dubbio sorge adesso, nel senso che non sono sicuro che
$0<= \int_I j_n*j_n$ $-$ $\int_I k_n*k_n$ $->0$
nel caso ciò fosse vero allora avrei dimostrato che $f^2$ è R integrabile.
Ah ecco, vedi già c'è una cosa importante, tu non usi la definizione di Darboux, quella con le somme superiori e inferiori, ma quella con le funzioni a scala. Questo va specificato bene. Spiega per favore la definizione di "funzione Riemann-integrabile" che usi, grazie
In realtà, non è nemmeno sempre vero che $k_n <= f <= j_n => k_n^2 <= f^2 <= j_n^2$...
"dissonance":
Ah ecco, vedi già c'è una cosa importante, tu non usi la definizione di Darboux, quella con le somme superiori e inferiori, ma quella con le funzioni a scala. Questo va specificato bene. Spiega per favore la definizione di "funzione Riemann-integrabile" che usi, grazie
Come definizione usiamo proprio questa: nel senso sia $f:I->RR$ allora sono equivalenti
$1)$ $f$ è Riemann integrabile
$2)$ esistono succesioni $k_n$ e $j_n$ a scala con $k_n<=f<=j_n$ tali che
$0<=\int_I j_n$ $-$ $\int_I k_n$ $->0$
"gugo82":
In realtà, non è nemmeno sempre vero che $k_n <= f <= j_n => k_n^2 <= f^2 <= j_n^2$...
Questo dipende dal fatto che ci possono essere problemi coi valori negativi.
Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)[nota]Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$.[/nota] e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.
"gugo82":
[quote="gugo82"]In realtà, non è nemmeno sempre vero che $k_n <= f <= j_n => k_n^2 <= f^2 <= j_n^2$...
Questo dipende dal fatto che ci possono essere problemi coi valori negativi.
Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)[nota]Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$.[/nota] e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.[/quote]
Onestamente non so più come dirlo!
La dimostrazione ho provato a farla e l'ho scritta sopra...ma, come giustamente mi avete fatto notare, è sbagliata...
Purtroppo ho anche altre materie da preparare...
Possibile che non si può trovare online o avere come "aiuto"?
Mi pare che io di impegno ne ho messo.
La dimostrazione che $f_+$ e $f_-$ sono integrabili l'ho in mente perché l'abbiamo fatta a lezione.
Grazie
Ma allora scrivi... Che ci vuole!
Vuoi fermarti a un metro dal traguardo?
P.S.: Studiare una dimostrazione e basta non serve a nulla, cioè non aggiunge niente al tuo bagaglio di conoscenze della Matematica.
Se l'argomento ti interessa, prova a scrivere la dimostrazione da te; altrimenti, lascia perdere e vai avanti.
Vuoi fermarti a un metro dal traguardo?
P.S.: Studiare una dimostrazione e basta non serve a nulla, cioè non aggiunge niente al tuo bagaglio di conoscenze della Matematica.
Se l'argomento ti interessa, prova a scrivere la dimostrazione da te; altrimenti, lascia perdere e vai avanti.
"gugo82":
Ma allora scrivi... Che ci vuole!
Vuoi fermarti a un metro dal traguardo?
P.S.: Studiare una dimostrazione e basta non serve a nulla, cioè non aggiunge niente al tuo bagaglio di conoscenze della Matematica.
Se l'argomento ti interessa, prova a scrivere la dimostrazione da te; altrimenti, lascia perdere e vai avanti.
Vero...come ho scritto sopra ci ho provato ma non riesco a venirne a una...e purtroppo all'esame chiedono le dimostrazioni!
Per questo ho chiesto...e spero(ancora) che qualcuno mi possa aiutare.
Grazie
La dimostrazione te l’abbiamo scritta io e dissonance.
Tu devi solo formalizzare.
"gugo82":
Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)[nota]Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$.[/nota] e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.
Tu devi solo formalizzare.
"gugo82":
La dimostrazione te l’abbiamo scritta io e dissonance.
[quote="gugo82"]Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)[nota]Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$.[/nota] e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.
Tu devi solo formalizzare.[/quote]
Allora il trucco di considerare $fg=(1/4)*[(f+g)^2-(f-g)^2]$ l'ho capito...
Il problema è che non so dimostrare con le funzioni a scala che $f$ integrabile implica $f^2$ integrabile.
Ho provato ieri nel post a scrivere la mia dimostrazioni ma è sbagliata.
Grazie
O almeno se ci fosse un testo dove trovare questa dimostrazione... perché online davvero non trovo nulla
La tua dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ è sbagliata perché le disuguaglianze non funzionano come pensi di usarle tu (nel caso in cui $f$ assuma valori negativi)... Su questo pensavo di essere stato abbastanza chiaro.
Ti ho consigliato anche come rimediare, cioè puoi pensare di spezzare la dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ in tre step: 1) funzioni nonnegative; 2) funzioni nonpositive; 3) caso generale.
Fatto ciò, scatta il trucco suggerito da dissonance per acchiappare l'integrabilità del prodotto.
Ti ho consigliato anche come rimediare, cioè puoi pensare di spezzare la dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ in tre step: 1) funzioni nonnegative; 2) funzioni nonpositive; 3) caso generale.
Fatto ciò, scatta il trucco suggerito da dissonance per acchiappare l'integrabilità del prodotto.
"gugo82":
La tua dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ è sbagliata perché le disuguaglianze non funzionano come pensi di usarle tu (nel caso in cui $f$ assuma valori negativi)... Su questo pensavo di essere stato abbastanza chiaro.
Ti ho consigliato anche come rimediare, cioè puoi pensare di spezzare la dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ in tre step: 1) funzioni nonnegative; 2) funzioni nonpositive; 3) caso generale.
Fatto ciò, scatta il trucco suggerito da dissonance per acchiappare l'integrabilità del prodotto.
Ci rinuncio e stop onestamente!
Io ci ho provato...ma usando le funzioni a scala che sia $f$ positiva, negativa o di segno costante non vedo altro modo che come, sbagliando, ho scritto sopra.
Grazie lo stesso
"dissonance":
La terza va sostanzialmente bene, ma dovresti dimostrare che
\[
\int_a^{x_1} f(x)\, dx = \int_a^{x_1} g(x)\, dx, \]
e similmente sugli altri intervallini. In effetti si riduce a dimostrare che, detta \(h:=f-g\), si ha
\[
\int_a^{x_1}h(x)\, dx=0.\]
Ma gli altri intervalli quali sarebbero?
Rivedendola ora mi è venuto questo dubbio.
Grazie
Voglio dire che poi occorrerà dimostrare che
\[\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx=\int_{x_1}^{x_2} g(x)\, dx, \]
etc etc...
\[\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx=\int_{x_1}^{x_2} g(x)\, dx, \]
etc etc...
"dissonance":
Voglio dire che poi occorrerà dimostrare che
\[\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx=\int_{x_1}^{x_2} g(x)\, dx, \]
etc etc...
A ok... che poi però sostanzialmente è lo stesso ragionamento dimostrato sopra per $[a,x_1)$ che si può iterare...o sbaglio?
Ma certo, su.
Grazie
Prego. Ricordati: sicurezza in te stesso. Afferma le cose con sicurezza, senza paura di sbagliare. Se sbagli, non è la fine del mondo a patto che ti impegni a capire perché hai sbagliato. Così si impara.
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