Proprietà degli integrali
Sto studiando gli integrali definiti e le rispettive proprietà. Solo che non ho capito alcuni esempi d'integrazione per sostituzione. Uno è:
$\int (x arcsenx^2)/sqrt(1-x^4) dx$
Lo svolgimento del libro è:
$\1/2int arcsenx^2/sqrt(1-x^4) dx^2$
$\1/2int arcseny/sqrt(1-y^2) dy$ $=$ $1/2 arcsen^2y + c$
Quell'$1/2$ fuori dal segno di integrale cos'è?
$\int (x arcsenx^2)/sqrt(1-x^4) dx$
Lo svolgimento del libro è:
$\1/2int arcsenx^2/sqrt(1-x^4) dx^2$
$\1/2int arcseny/sqrt(1-y^2) dy$ $=$ $1/2 arcsen^2y + c$
Quell'$1/2$ fuori dal segno di integrale cos'è?
Risposte
non bloccarti sul più bello! 
\begin{align*}
\int \frac{\ln x}{x\cdot\left(1+\ln^4x\right)}\,\,dx&=\int \frac{\ln x}{ \left(1+\ln^4x\right)}\,\,d\left(\ln x\right)\stackrel{\ln x=y}{=} \int \frac{y}{ \left(1+y^4 \right)}\,\,d\left(y\right)=\int \frac{1}{ \left(1+y^4 \right)}\,\,d\left(\frac{y^2}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\int \frac{1}{ \left(1+y^4 \right)}\,\,d\left(y^2\right)\\
&\stackrel{ y^2=t}{=}\frac{1}{2}\int \frac{1}{ \left(1+t^2 \right)}\,\,d\left(t\right)\\
&=\frac{1}{2}\arctan t\\
&\stackrel{ y^2=t}{=} \frac{1}{2}\arctan y^2\\
&\stackrel{\ln x=y}{=} \frac{1}{2}\arctan \ln^2x
\end{align*}
\begin{align*}
\int \frac{\ln x}{x\cdot\left(1+\ln^4x\right)}\,\,dx&=\int \frac{\ln x}{ \left(1+\ln^4x\right)}\,\,d\left(\ln x\right)\stackrel{\ln x=y}{=} \int \frac{y}{ \left(1+y^4 \right)}\,\,d\left(y\right)=\int \frac{1}{ \left(1+y^4 \right)}\,\,d\left(\frac{y^2}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\int \frac{1}{ \left(1+y^4 \right)}\,\,d\left(y^2\right)\\
&\stackrel{ y^2=t}{=}\frac{1}{2}\int \frac{1}{ \left(1+t^2 \right)}\,\,d\left(t\right)\\
&=\frac{1}{2}\arctan t\\
&\stackrel{ y^2=t}{=} \frac{1}{2}\arctan y^2\\
&\stackrel{\ln x=y}{=} \frac{1}{2}\arctan \ln^2x
\end{align*}
Quel ragionamento finale che mi è mancato, eppure si può dire che era più semplice del ragionamento che c'era alla base.
Grazie Noise!
Comunque ogni volta che porto un termine dell'integrale nel differenziale mi risulta inutile fare il '' calcolo '' del $dy$ o $dt$ qualsivoglia scrivere.
Grazie Noise!
Comunque ogni volta che porto un termine dell'integrale nel differenziale mi risulta inutile fare il '' calcolo '' del $dy$ o $dt$ qualsivoglia scrivere.
Il problema che ho riscontrato è sull'integrazione di funzioni razionali.
Il testo è:
$\int 1/((x-1)(x^2+1)^2) dx$
Considerando che il grado del denominatore è superiore, applico il Teorema di Hermete. Mi viene:
$1/4*\int 1/(x+1) dx$ $-1/4*\int (x+1)/(x^2+1) dx$ $-1/2*\int (x+1)/(x^2+1)^2 dx$
Il primo è l'integrale del logaritmo, i successivi vedendo che il denominatore ha grado superiore pensavo dovessi fare un'altra itnegrazione di funzioni razionali con il Teorema di Hermete. Il libro invece risolve la questione risolvendo il secondo e il terzo integrale in:
$-1/4 arctgx$ $-1/8\int 1/(x^2+1) d(x^2+1)$
Al primo ha fatto una sostituzione che non ho compreso. L'integrale dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ o al massimo $f'(x)/(1+f^2(x))$. Al secondo cosa ha fatto? Non mi sembra abbia portato il numeratore al differenziale.
Il testo è:
$\int 1/((x-1)(x^2+1)^2) dx$
Considerando che il grado del denominatore è superiore, applico il Teorema di Hermete. Mi viene:
$1/4*\int 1/(x+1) dx$ $-1/4*\int (x+1)/(x^2+1) dx$ $-1/2*\int (x+1)/(x^2+1)^2 dx$
Il primo è l'integrale del logaritmo, i successivi vedendo che il denominatore ha grado superiore pensavo dovessi fare un'altra itnegrazione di funzioni razionali con il Teorema di Hermete. Il libro invece risolve la questione risolvendo il secondo e il terzo integrale in:
$-1/4 arctgx$ $-1/8\int 1/(x^2+1) d(x^2+1)$
Al primo ha fatto una sostituzione che non ho compreso. L'integrale dell'arcotangente è $1/(x^2+1)$ o al massimo $f'(x)/(1+f^2(x))$. Al secondo cosa ha fatto? Non mi sembra abbia portato il numeratore al differenziale.
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