[Proposto] Studio di insieme implicitamente definito

[feddy]

Ciao a tutti, oggi vi propongo il seguente esercizio sullo studio di un insieme implicitamente definito.

Si consideri in $(RR^2,\tau_e)$ (dove $tau_e$ denota la topologia euclidea) il seguente insieme

$\Gamma={(x,y) \in RR^2: (x^2+y^2)^{5/2} -4(x^2+y^2)^{3/2}+2sqrt(x^2+^2) - 2y=0}$

1.Si dica se $\Gamma$ è un compatto in $RR,\tau_e$.
2.Dire se $Gamma$ definisce in modo implicito, nei punti di intersezione con gli assi, una funzione $y=y(x)$.
3.Determinare massimi e minimi assoluti, se esistono, della funzione $h(x,y)=x^2+y^2$ vincolati a $Gamma$
4.Disegnare un grafico di $Gamma$

Hint (ovvio)

Passare in coordinate polari

Nei prossimi giorni posterò (mano a mano) in spoiler la soluzione

[feddy]

Soluzione quesito 1.

Sia $f(x,y)=(x^2+y^2)^{5/2} -4(x^2+y^2)^{3/2}+2sqrt(x^2+^2) - 2y$. E' immediato notare che si tratta di una funzione continua.
Conviene notare, al fine di disegnare un grafico qualitativo, che tale insieme presenta una simmetria in quanto $f(x,y)=f(-x,y)$.
Vista la forma della funzione, passiamo in coordinate polari tramite la composizione $f( \phi(\rho,\theta))$, con $\theta in [0,2*pi]$ e $\rho geq 0$.
L'insieme si scrive dunque come $Gamma={(rho,theta): rho^2(rho^2-4)=2(sin(\theta)-1)} \cup {(0,0)}$.

$Gamma=f^(-1)({0})$, controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua, da cui segue che è un chiuso.
Per provarne la limitatezza, e usare dunque Heine-Borel su $RR^n$ per concludere la compattezza, basta guardare la scrittura $rho^2(rho^2-4)=2(sin(\theta)-1)$. Pertanto, $Gamma$ è compatto in $RR,\tau_e$.

[feddy]

Nessuno ha voglia di cimentarsi? Domani la soluzione dei quesiti 2, 3.