Proposizione sulla continuità della misura di probabilità-
Salve gente, scrivo qui perché riguardando i miei appunti mi pare siano incompleti o comunque non sufficientemente chiari, e infine sul libro di testo non trovo niente a riguardo. All'inizio di una lezione, senza che sia minimamente accennato cosa si intenda per continuità, trovo scritto questo:
Equivalenza tra sigma additività ed assioma di continuità:
Sia $\{B_k}_{k=1}^{\infty}$ una famiglia di insiemi al più numerabile (sottoinsieme dell'insieme delle parti in $\Omega$, lo spazio degli eventi), strettamente decrescente (cioè $B_k \supset \B_{k+1} \forall k$) e tale per cui $\bigcap_{k=n}^{\infty} B_k = \emptyset$, allora $\lim_{k\to\infty} B_k = 0$
Nota I miei appunti non specificano cosa si intenda per "assioma di continuità" ma dato che in precedenza si stava trattando un approccio assiomatico alla probabilità suppongo che mi sia perso un qualche assioma che implichi la continuità (immagino) delle misure.
Si tenta anche la seguente dimostrazione:
Dimostrazione: Definiamo $D_k$ la "corona" tra un insieme ed il precedente, che lo contiene: $D_k = B_k \setminus B_{k-1}$. Allora per la decrescenza della famiglia dei $B_n$ abbiamo che i diversi $D_k$ sono mutuamente disgiunti tra di loro ed inoltre si deve avere che:
$\bigcup_{k=n}^{\infty} D_k = \bigcup_{k=n}^{\infty} B_k \setminus B_{k-1}$
A questo punto si colloca un passaggio che non capisco fino in fondo: viene affermato che
$\bigcup_{k=n}^{\infty} B_k \setminus B_{k-1} = B_n \setminus \bigcap_{k=n}^{\infty} B_k$
Adesso dato che per ipotesi $\bigcap_{k=n}^{\infty} B_k = \emptyset$ da cui $\bigcup_{k=n}^{\infty} D_k = B_n$
Passando alle probabilità:
$\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k) = \mathbb{P}(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k \setminus B_{k-1})$
Approfittando della proprietà di sigma additività e del fatto che i $D_k = B_k \setminus B_{k-1}$ sono eventi indipendenti:
$\mathbb{P}(B_n) = \sum_{k=1}^\{infty} \mathbb{P}(B_k \setminus B_{k-1})$
La quale è una serie telescopica convergente: vale a dire che $\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(B_1)$
(probabilità dell'insieme più esterno)
E qui si conclude. Non capisco come si ritenga dimostrata la tesi e non sono sicuro che la dimostrazione vada bene / sia completa.
Scusate per il disastro e grazie a chiunque abbia la pazienza di aiutarmi!
Equivalenza tra sigma additività ed assioma di continuità:
Sia $\{B_k}_{k=1}^{\infty}$ una famiglia di insiemi al più numerabile (sottoinsieme dell'insieme delle parti in $\Omega$, lo spazio degli eventi), strettamente decrescente (cioè $B_k \supset \B_{k+1} \forall k$) e tale per cui $\bigcap_{k=n}^{\infty} B_k = \emptyset$, allora $\lim_{k\to\infty} B_k = 0$
Nota I miei appunti non specificano cosa si intenda per "assioma di continuità" ma dato che in precedenza si stava trattando un approccio assiomatico alla probabilità suppongo che mi sia perso un qualche assioma che implichi la continuità (immagino) delle misure.
Si tenta anche la seguente dimostrazione:
Dimostrazione: Definiamo $D_k$ la "corona" tra un insieme ed il precedente, che lo contiene: $D_k = B_k \setminus B_{k-1}$. Allora per la decrescenza della famiglia dei $B_n$ abbiamo che i diversi $D_k$ sono mutuamente disgiunti tra di loro ed inoltre si deve avere che:
$\bigcup_{k=n}^{\infty} D_k = \bigcup_{k=n}^{\infty} B_k \setminus B_{k-1}$
A questo punto si colloca un passaggio che non capisco fino in fondo: viene affermato che
$\bigcup_{k=n}^{\infty} B_k \setminus B_{k-1} = B_n \setminus \bigcap_{k=n}^{\infty} B_k$
Adesso dato che per ipotesi $\bigcap_{k=n}^{\infty} B_k = \emptyset$ da cui $\bigcup_{k=n}^{\infty} D_k = B_n$
Passando alle probabilità:
$\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k) = \mathbb{P}(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k \setminus B_{k-1})$
Approfittando della proprietà di sigma additività e del fatto che i $D_k = B_k \setminus B_{k-1}$ sono eventi indipendenti:
$\mathbb{P}(B_n) = \sum_{k=1}^\{infty} \mathbb{P}(B_k \setminus B_{k-1})$
La quale è una serie telescopica convergente: vale a dire che $\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(B_1)$
(probabilità dell'insieme più esterno)
E qui si conclude. Non capisco come si ritenga dimostrata la tesi e non sono sicuro che la dimostrazione vada bene / sia completa.
Scusate per il disastro e grazie a chiunque abbia la pazienza di aiutarmi!
Risposte
Qui per "continuità" si intende, semplicemente, una proposizione sul limite di una successione di probabilità. È solo un modo di dire.
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