Prolungamento di funzione a continuità
ciao a tutti: cosa significa prolungare una funzione per continuità? come si procede, a livello di esercizio? grazie infinite
Risposte
a volte in una funzione ci sono delle discontinuità eliminabili. Infatti apparentemente sembra che in quei punti la funzione non ha senso,ma l'eliminabilità della discontinuità rende la funzione prolungabile per continuità in quel punto.
Ad esempio la funzione sen(x)/x non è definita per x=0. Ma se fai il limite da destra e da sinistra troverai che tale funzione per x->0 tende ad 1. Quindi tale funzione è prolungabile per contibuità in x=0 seppure x=0 non appartiene al dominio della funzione.
Praticamente devi fare il limite e constatare che sia quello destro che quello sinistro tendono allo stesso valor finito. Se è così allora la funzione è prolungabile per continuità in quel punto
Un altro esempio potrebbe essere la funzione x/sqrt(x) che ha come dominio x>0, Ma se fai il limite da destra ( da sinistra non ha senso) trovi che tale limite tende a zero. In tal caso la funzione è prolungabile per continuità da destra.
Ad esempio la funzione sen(x)/x non è definita per x=0. Ma se fai il limite da destra e da sinistra troverai che tale funzione per x->0 tende ad 1. Quindi tale funzione è prolungabile per contibuità in x=0 seppure x=0 non appartiene al dominio della funzione.
Praticamente devi fare il limite e constatare che sia quello destro che quello sinistro tendono allo stesso valor finito. Se è così allora la funzione è prolungabile per continuità in quel punto
Un altro esempio potrebbe essere la funzione x/sqrt(x) che ha come dominio x>0, Ma se fai il limite da destra ( da sinistra non ha senso) trovi che tale limite tende a zero. In tal caso la funzione è prolungabile per continuità da destra.
quindi possiamo dire che la discontinuità è eliminabile in un punto se calcolando limiti destro e sinistro questi esistono , coincidono e sono finiti?
e se mi si chiede di prolungare per continuità una funzione che ha domino (a,b] ad un intervallo ($-oo$, a] ? grazie
e se mi si chiede di prolungare per continuità una funzione che ha domino (a,b] ad un intervallo ($-oo$, a] ? grazie
"chiara_genova":
quindi possiamo dire che la discontinuità è eliminabile in un punto se calcolando limiti destro e sinistro questi esistono , coincidono e sono finiti?
e se mi si chiede di prolungare per continuità una funzione che ha domino (a,b] ad un intervallo ($-oo$, a] ? grazie
Infatti la discontinuità di terza specie o eliminabile significa questo: cioè x0 è un punti di discontinuità eliminabile se i limiti da destra e da sinistra per x->x0 sono uguali e finiti.
Considera la funzione(-x)/sqrt(-x) definita in (-oo,0) perchè il dominio è (-x)>0->x<0. Ma se fai il limite per x->0- trovi che tale limite tende a zero e la funzione è prolungabile da sinistra.
In ogni caso devi fare il limite: è ovvio che in alcuni casi ha senso farne uno solo perchè nell'esempio (-x)/sqrt(-x) non ha senso fare quello per x->0+, e ci sono casi in cui vanno fatti entrambi perchè ha senso, come sen(x)/x. Nel caso in cui si possono fare entrambi è ovvio che devono essere uguali e finiti per prolungare altrimenti siamo in presenza di discontinuità di prima o seconda specie e non più nel caso di discontinuità eliminabile, e quindi la funzione è discontinua.
ok grazie 
In realtà, come spiegato da me in un altro postato, il cosidetto 'prolungamento analitico' di una funzione è cosa un poco più generale della questione delle 'singolarità eliminabili' [concetto questo sostanzialmente da rivedere come più volte ribadito...]. L'esempio della funzione data da nicasamarciano $sqrt(z)$ [da lui scritta per motivi non chiari come $z/(sqrt(z))$...] è al riguardo assai significativo. Tale funzione risulta analitica in ogni punto del piano complesso ad eccezione del punto $z=0$, che costituisce per essa un punto di diramazione. Se però, ad esempio, sviluppiamo la funzione $f(z)=sqrt(z)$ nell'intorno di $z=1$ otteniamo la serie...
$sqrt(z)= 1+ 1/2*(z-1)-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3-5/128*(z-1)^4+...$ (1)
... la quale è però converge entro i punti di un cerchio con centro in $z=1$ e raggio $R=1$ e diverge al di fuori di esso. Mediante la tecnica del prolungamento analitico è tuttavia possibile trovare i valori della funzione e delle sue derivate in tutti i punti del piano complesso ad eccezione del punto $z=0$. Dettagli della cosa possono essere trovati nel thread 'Singolarità isolata' impostato da Platone...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sqrt(z)= 1+ 1/2*(z-1)-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3-5/128*(z-1)^4+...$ (1)
... la quale è però converge entro i punti di un cerchio con centro in $z=1$ e raggio $R=1$ e diverge al di fuori di esso. Mediante la tecnica del prolungamento analitico è tuttavia possibile trovare i valori della funzione e delle sue derivate in tutti i punti del piano complesso ad eccezione del punto $z=0$. Dettagli della cosa possono essere trovati nel thread 'Singolarità isolata' impostato da Platone...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
La mia risposta non intendeva in alcun modo considerare il prolungamento nel piano complesso visto che l'aiuto richiesto non comportava l'introduzione di problematiche di prolungamento nel piano complesso, ma richiedeva quali potevano essere i punti di prolungabilità e come fare. E mi sembra che i punti di discontinuità eliminabile ricadono in tale categoria. o no?. cosa c'è da rivedere nel discorso sulle discontinuità eliminabili nel campo reale? se c'è spiegalo cosi che possa imparare qualcosa che non so o che non ricordo.
Inoltre l'esempio x/sqrt(x) era legato al fatto che volevo mostrare con un esempio che ci sono delle funzioni che apparentemente sembrano non continue in un punto invece lo sono se solo si prolunga per continuità.
Inoltre l'esempio x/sqrt(x) era legato al fatto che volevo mostrare con un esempio che ci sono delle funzioni che apparentemente sembrano non continue in un punto invece lo sono se solo si prolunga per continuità.
Non è che sono apparentemente non continue, non ha senso chiederselo. La funzione $x/sqrt(x)$ è naturalmente definita su $(0,+\infty)$, e quindi non ha significato la richiesta della sua continuità in $x=0$. Non mi stancherò mai di dirlo (non a te ma a chi sappiamo bene) che quando si assegna una funzione si assegna anzitutto il dominio della funzione.
Ma a quanto pare non c'è peggior sordo di chi non vuol sentire...
Ma a quanto pare non c'è peggior sordo di chi non vuol sentire...
Pensa Luca che a me a scuola era stato detto che 1/x ha una discontinuità in x=0... E probabilmente non solo a me!
Ah lo so bene, è un errore molto comune, e purtroppo si trova su tantissimi testi di liceo. Mi chiedo chi cavolo scrive quei libri...
"Luca.Lussardi":
Non è che sono apparentemente non continue, non ha senso chiederselo. La funzione $x/sqrt(x)$ è naturalmente definita su $(0,+\infty)$, e quindi non ha significato la richiesta della sua continuità in $x=0$. Non mi stancherò mai di dirlo (non a te ma a chi sappiamo bene) che quando si assegna una funzione si assegna anzitutto il dominio della funzione.
Ma a quanto pare non c'è peggior sordo di chi non vuol sentire...
Grazie per aver esplicitato che quando si assegna la funzione se ne assegna il dominio. Infatti le due funzioni sqrt(x) ed x/sqrt(x) sono ben diverse. Infatti è come dire, generalizzando, che la funzione
sqrt(f(x))/sqrt(g(x)) è uguale a sqrt(f/g). Il che è una eresia.
L'avverbio 'apparentemente' da me usato era per dire che è un punto di discontinuità apparente nel senso che
la funzione x/sqrt(x) è però prolungabile per continuità da destra in x=0. Vero?
Sì, la funzione è prolungabile per continuità, anche se $x=0$ non è un punto di discontinuità, in quanto non appartenente al dominio.
Per esempio se io assegno la funzione $f(x)=1/x$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ allora sì $x=0$ è un punto di discontinutà.
Allo stesso modo la funzione $f(x)=(\tan x)/x$ per $x \ne 0$ è una funzione definita su $R$ tranne $0$, che non ha un punto di discontinuità in $0$. Semplicemente in $0$ non è definita. Il suo prolungamento continuo (che in tal caso esiste) è la funzione $g$ definita su $R$ con $g=f$ su $R$ meno lo $0$, e con $g(0)=1$.
Per esempio se io assegno la funzione $f(x)=1/x$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ allora sì $x=0$ è un punto di discontinutà.
Allo stesso modo la funzione $f(x)=(\tan x)/x$ per $x \ne 0$ è una funzione definita su $R$ tranne $0$, che non ha un punto di discontinuità in $0$. Semplicemente in $0$ non è definita. Il suo prolungamento continuo (che in tal caso esiste) è la funzione $g$ definita su $R$ con $g=f$ su $R$ meno lo $0$, e con $g(0)=1$.
"Luca.Lussardi":
Sì, la funzione è prolungabile per continuità, anche se $x=0$ non è un punto di discontinuità, in quanto non appartenente al dominio.
Per esempio se io assegno la funzione $f(x)=1/x$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ allora sì $x=0$ è un punto di discontinutà.
Allo stesso modo la funzione $f(x)=(\tan x)/x$ per $x \ne 0$ è una funzione definita su $R$ tranne $0$, che non ha un punto di discontinuità in $0$. Semplicemente in $0$ non è definita. Il suo prolungamento continuo (che in tal caso esiste) è la funzione $g$ definita su $R$ con $g=f$ su $R$ meno lo $0$, e con $g(0)=1$.
Hai ragione che i punti di discontinuità sono punti in cui la funzione non è continua, mentre il mio esempio riguardava un punto che non apparteneva al dominio ma in cui la funzione era prolungabile. Era solo per mostrare la prolungabilità in quel punto. il mio intervento non era per confondere punti di discontinuità con punti di non esistenza della funzione. sia ben chiaro. Infatti ho fatto un esempio simile al tuo ed ho preso sen(x)/x come funzione che non è definitain x=0 ma è lo stesso prolungabile.
Non si tratta di confondere i concetti , ma al liceo ci hanno sempre fatto pensare ai punti di discontinuità come quelli non appartenenti al dominio. perciò a volte ci si può confondere
I punti di discontinuità sono punti in cui la funzione è definita ma non continua. $(sen(x))/x$ se definita in $x \ne 0$ non è discontinua in $x=0$, ma è sì prolungabile per continuità a tutto $R$.
"Luca.Lussardi":
I punti di discontinuità sono punti in cui la funzione è definita ma non continua. $(sen(x))/x$ se definita in $x \ne 0$ non è discontinua in $x=0$, ma è sì prolungabile per continuità a tutto $R$.
la funzione 1/x non è nè definita nè prolungabile per continuità in in x=0. Io intendo come punti di discontinuità anche questi, cioè quelli in cui la funzione diverge se valutata nel punto. quando parlo di discontinuità sottintendo tutti e tre i tipi di discontinuità, prima seconda e terza specie. così al liceo ci hanno insegnato...
Nicasamarciano, anche a me hanno insegnato quelle cose al liceo, e sono sbagliate...
... e così vi hanno insegnato male. Un punto di discontinuità è un punto in cui la funzione
1) è definita;
2) non è continua.
1) è definita;
2) non è continua.
"Luca.Lussardi":
... e così vi hanno insegnato male. Un punto di discontinuità è un punto in cui la funzione
1) è definita;
2) non è continua.
Hai ragione teoricamente: ma tecnicamente il ragionamento è sempre lo stesso, fare il limite e vedere se è finito per vedere se la funzione assume un valore limitato e finito in quel punto. La pratica è questa senza impegolarci in delle definizioni che a volte allontanano da quello che praticamente uno deve fare. così la penso; forse è anche la mia esperienza universitaria ingegneristica che mi permette di dire ciò: molta pratica e lasciare le chiacchiere a zero.
Ecco perchè matematici ed ingegneri vanno poco daccordo: i matematici sono troppo precisi e tardano a trovare la soluzione mentre non controllano che tutte le ipotesi siano soddisfatte; l'ingegnere praticamente la trova, ne da una interpretazione fisica, e poco si interessa di vedere se sono soddisfatte tutte le ipotesi alla base. Tanto la maggior parte delle volte nei problemi pratici tutte quelle ipotesi sono sempre soddisfatte, ed al limite l'ingegnere all'ultimo controlla che siano verificate. Intanto trova una soluzione. Il che non è poco.
L'importante però è che non confondi la teoria con le "chiacchiere"...
Appunto, queste non sono chiacchiere, questo è rigore ed in Matematica ci vuole rigore, sia che la faccia un matematico sia che la faccia un ingegnere.
Non a caso il prolungamento esiste, proprio per risolvere questa problematica; se una funzione è definita in un punto, o è ivi continua o non è ivi continua. Se una funzione non è definita in un punto, ma in un intorno meno il punto sì, allora non ci si può chiedere se è continua in quel punto, ma ci si chiede se si prolunga per continuità in quel punto.
Non a caso il prolungamento esiste, proprio per risolvere questa problematica; se una funzione è definita in un punto, o è ivi continua o non è ivi continua. Se una funzione non è definita in un punto, ma in un intorno meno il punto sì, allora non ci si può chiedere se è continua in quel punto, ma ci si chiede se si prolunga per continuità in quel punto.
"fireball":
L'importante però è che non confondi la teoria con le "chiacchiere"...
Non confondo affatto: la teoria è fondamentale, ma la pratica ancora di più: a un'azienda importa che tu trovi una soluzione e la testi; non gli importa i 1000 ragionamenti che fai per tentare di arrivcarci e poi non ci arrivi. La teoria sta alla base, ma essere troppo appiccicati alla teoria ti allontana sempre dalla soluzione
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