Programma di analisi 2

[τau1]

Ciao ragazzi, ho bisogno di un aiuto. Sul mio programma di analisi 2 è riportato un teorema da dimostrare chiamato "Teorema fondamentale sull'insieme di convergenza di una serie di potenze", l'argomento successivo si chiama determinazione del raggio di convergenza. Ora il dubbio è questo, a cosa si riferisce quel teorema??
Perché sui miei appunti ho :
-Teorema di Hadaward (chiamato anche teorema di struttura di convergenza della serie di potenze)
-Corollario (è il criterio di D'Alambert)
Entrambi credo si riferiscano alla determinazione del raggio di convergenza e non all'insieme, e
-Teorema (in questo prende in considerazione due serie, una $a_(n)*x^n$ e $a_(n)*(x-x_(0))^n$ considera i due insiemi di convergenza rispettivamente I e J e dice che $J = I + x_0$

Secondo voi, il teorema citato all'inizio si riferisce a uno di questi o non è presente nei miei appunti
Inoltre l'ultimo teorema è la prima volta che lo incontro, qual'è il suo significato?

Grazie. Tutti quelli che vorranno aiutarmi

[kobeilprofeta]

penso che sia quello che dice

Sia $x_0$ il centro della serie. se la serie converge in $x_0+\alpha$, allora converge in tutto l'intervallo $(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$, inoltre la convergenza è totale nei compatti

[τau1]

Ciao kobeilprofeta
Quindi deduco che non è nessuno dei tre citati..

Ho un altro teorema tra gli appunti, dice:

Sia $x_(0) in RR$, sia $\sum_{n=0}^\(+infty)\ {a_(n)}*(x-x_(0))^n$ una serie di potenza, centro in $x_(0)$, avente $R>0$ come raggio. Sia $f(x)=\sum_{n=0}^\(+infty)\ {a_(n)}*(x-x_(0))^n$ per ogni $(x_(0)-RR, x_(0)+RR)$. Allora si ha che:
1) f appartiene a $C^(infty)$ $(x_(0)-RR, x_(0)+RR)$
2) $((f^(n) * (x_(0)))/(n!))=a_(n)$

è lui il Teorema fondamentale sull'insieme di convergenza di una serie di potenze?? Kobe, cosa vuole dirmi questo teorema??

[τau1]

Allora .. no, quel teorema è sulla derivazione termine a termine di una serie di potenze, quindi non c'entra nulla

[donald_zeka]

Io penso sia questo:

Se $suma_n(x-x_o)^n$ converge puntualmente in $tildex!=x_0$ allora converge assolutamente in ogni x tale che $abs(x-x_0)

Cita

Segnala

[τau1]

Ok grazie Vulplasir, non ho questo teorema tra i miei appunti, ma se mi assicuri che sia questo lo studierò
Grazie

[donald_zeka]

Eh assicurartelo non posso, perchè questi teoremi non è che abbiano un nome proprio, ognuno li chiama come vuole...o se no ci sarebbe il teorema corollario del precedente:

Sia data $suma_n(x-x_0)^n$, allora o essa converge solo per $x=x_0$ oppure esiste $R in tildeRR>0$ tale che la serie di potenze converge assolutamente in $abs(x-x_0)R$, inoltre per ogni $0
Uno è corollario del precedente, quindi li devi studiare tutti e due, sicuramente è uno di questi due