Prodotto scalare insoluto
Salve, sono nuovo di questo forum e sto cercando la soluzione dell'equazione di Klein-Gordon normalizzata e con energia positiva.
Parto dall'equazione:
\( \displaystyle ( \Box^2 + m^2)\phi = 0 \) e cerco soluzioni con forma di onda piana: \( \displaystyle e^{ip_{\mu}x^{\mu}} \) con \( \displaystyle p_{\mu} = quadrimpulso \) ed \( \displaystyle x^{\mu} = quadrivettore posizione \).
quindi sostituendo ho \( \displaystyle 0 = ( \Box^2 + m^2)e^{ipx} = (-p^2 + m ^2)e^{ipx} \).
Fissando l'impulso spaziale P e le coordinate spaziali X sono possibili soluzioni ad energia negativa e positiva: \( \displaystyle p^0 = \pm \sqrt{ m^2 + P^2} \).
Ora per cercare il fattore di normalizzazione prendo due diverse soluzioni ad energia positiva \( \displaystyle p_1^0,p_2^0 > 0\) come \( \displaystyle \phi_1 = e^{-ip_1x}, \phi_2 = e^{-ip_2x} \) e calcolo il prodotto scalare come \( (\phi_1,\phi_2) = i \int d^3x e^{ip_1x} \overleftrightarrow{\partial_0} e^{-ip_2x} \).
Sviluppando calcoli che non sto qui a fare, ad un certo punto mi trovo davanti ad un integrale:
\( \int d^3x e^{-iP_1 \cdot X}e^{iP2 \cdot X} = (2\pi)^3 \delta^3(P_1-P_2) \).
Non riesco a capire come si fa ad ottenere questo risultato, anche se assomiglia molto ad un integrale gaussiano, ma sulla materia ho dei ricordi un pò appannati.
Sapete aiutarmi?
Grazie mille
Parto dall'equazione:
\( \displaystyle ( \Box^2 + m^2)\phi = 0 \) e cerco soluzioni con forma di onda piana: \( \displaystyle e^{ip_{\mu}x^{\mu}} \) con \( \displaystyle p_{\mu} = quadrimpulso \) ed \( \displaystyle x^{\mu} = quadrivettore posizione \).
quindi sostituendo ho \( \displaystyle 0 = ( \Box^2 + m^2)e^{ipx} = (-p^2 + m ^2)e^{ipx} \).
Fissando l'impulso spaziale P e le coordinate spaziali X sono possibili soluzioni ad energia negativa e positiva: \( \displaystyle p^0 = \pm \sqrt{ m^2 + P^2} \).
Ora per cercare il fattore di normalizzazione prendo due diverse soluzioni ad energia positiva \( \displaystyle p_1^0,p_2^0 > 0\) come \( \displaystyle \phi_1 = e^{-ip_1x}, \phi_2 = e^{-ip_2x} \) e calcolo il prodotto scalare come \( (\phi_1,\phi_2) = i \int d^3x e^{ip_1x} \overleftrightarrow{\partial_0} e^{-ip_2x} \).
Sviluppando calcoli che non sto qui a fare, ad un certo punto mi trovo davanti ad un integrale:
\( \int d^3x e^{-iP_1 \cdot X}e^{iP2 \cdot X} = (2\pi)^3 \delta^3(P_1-P_2) \).
Non riesco a capire come si fa ad ottenere questo risultato, anche se assomiglia molto ad un integrale gaussiano, ma sulla materia ho dei ricordi un pò appannati.
Sapete aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Deve essere un limite in senso distribuzionale. C'è un teorema a riguardo ed una sua applicazione porta a
\[
f_{\lambda}(x)=\int_{-\lambda}^{\lambda}\frac{e^{i\xi x}}{2\pi}\mbox{d}\xi=\frac{1}{\pi}\frac{sin(\lambda x)}{x}\rightarrow{\delta}\mbox{ per }\lambda\rightarrow \infty
\]
\[
f_{\lambda}(x)=\int_{-\lambda}^{\lambda}\frac{e^{i\xi x}}{2\pi}\mbox{d}\xi=\frac{1}{\pi}\frac{sin(\lambda x)}{x}\rightarrow{\delta}\mbox{ per }\lambda\rightarrow \infty
\]
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