Prodotto operatorio?

[Fab996]

Come si calcola il prodotto operatorio fra queste due funzioni? $f(a,b)=(3a+6b,-a)$ $f(a,b)=(4a,2a+3b)$ ?

[gugo82]

Cosa intendi con "prodotto operatorio"?
La composizione?

[Fab996]

"gugo82":Cosa intendi con "prodotto operatorio"?
La composizione?

Si

[gugo82]

Beh, allora comincia a facilitarti il lavoro usando notazioni migliori.
Innanzitutto, chiama la seconda funzione $g$ e scrivine la legge d'assegnazione come $g(x,y):= (4x,2x+3y)$.

Poi, ricorda che \(g\circ f (a,b) = g(f(a,b))\), cosicché, dette $x(a,b):=3a+6b$ ed $y(a,b):=-a$ le due componenti del vettore $f(a,b)$, si tratta di scrivere esplicitamente:
\[
\begin{split}
g\circ f(a,b) &= g\big( x(a,b), y(a,b)\big)\\
&= \big( 4x(a,b) , 2x(a,b) + 3y(a,b)\big)\\
&= \big( 4(3a+6b) , 2(3a+6b) + 3(-a)\big)\\
&= \big( 12a+24b , 3a+12b\big)\; .
\end{split}
\]

Un altro modo è il seguente.
Dato che $f$ e $g$ sono applicazioni matriciali, la prima con matrice associata:
\[
F = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ -1 & 0\end{pmatrix}
\]
e la seconda con matrice associata:
\[
G = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 2 & 3\end{pmatrix}\; ,
\]
l'applicazione composta \(g\circ f\) ha per matrice associata il prodotto $G\cdot F$, cioè:
\[
\begin{split}
G\cdot F &= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 2 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 6\\ -1 & 0\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 12 & 24\\ 3 & 12 \end{pmatrix}\; ;
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
g\circ f(a,b) &= G\cdot F \cdot \begin{split} a\\ b\end{split}\\
&= \begin{pmatrix} 12 a + 24 b\\ 3 a + 12 b\end{pmatrix}\; .
\end{split}
\]