Prodotto di funzioni decrescenti

[chess71]

Siano $f$ e $g$ due funzioni decrescenti.
Allora il loro prodotto è decrescente se $fg>0$

Non mi ritrovo con questa affermazione.
Se considero $z=fg$, risulta $dotz=dot(f)g+dot(g)f$
quindi $z$ risulta decrescente per $f>0, g>0$
Quando invece $f<0,g<0$, $z$ mi viene crescente.

Dove sbaglio?

[Plepp]

Secondo me perdi di generalità ragionando con le derivate, dal momento che (stando a quello che hai scritto) non ci sono ipotesi nè di continuità nè di regolarità su $f$ e $g$...una funzione può essere monotona pur non essendo derivabile in ogni punto (ad esempio, una successione).

A parte questo, anche a me pare che ci sia qualcosa che non va

[Plepp]

...e infatti, ecco il controesempio. Siano $f,g : D : =(-\infty,0)\to RR$, $f(x)=g(x)=-e^{-x^2}<0$ $\forall x\in D$, per cui $f\cdot g=f^2=g^2>0$ $\forall x\in D$. Le funzioni sono entrambe decrescenti in $D$, ma il loro prodotto è crescente.

Non è che la traccia dice "...se $f,g>0$" forse?

[chess71]

no, ma si legge male (era quello che avevo supposto, e volevo una conferma)
grazie

[Plepp]

E mi sa che è proprio così invece; forse è più semplice di quel che sembra. Consideriamo $f,g: X \to RR $, $f,g>0$ $\forall x\in X$, $f,g$ decrescenti. Per definizione di funzione decrescente abbiamo, $\forall x_1,x_2\in X$,
\[
\begin{cases}
x_1 x_1 \end{cases}
\]
Poichè $f,g>0$ sempre, moltiplicando tra loro i membri delle due disequazioni, il segno $>$ rimane inalterato:
\[x_1 ed abbiamo concluso che il prodotto $fg$ è anch'esso decrescente.

[chess71]

forse hai saltato qualche passaggio, perchè essendo quantità positive il segno non cambia, ma dovresti moltiplicare la disequazione per una stessa quantità, cioè:
per ogni $x1,x2$, con $x1 $f(x1)≥f(x2)$
da cui moltiplicando per $g(x1)>0$:
$f(x1)g(x1)>=f(x2)g(x1)$
ed essendo $g(x1)>g(x2)$ otteniamo:
$f(x1)g(x1)>=f(x2)g(x1)>=f(x2)g(x2)$
da cui $fg$ decrescente

Bravo Plepp, e ancora grazie
quindi il mio ragionamento iniziale con le derivate era errato in quanto nulla si diceva sulla derivabilità
errore grave, occorre stare sempre attenti...

e il tuo controesempio?

[Plepp]

Ciao Chess. Beh, i passaggi che hai fatto non sono indispensabili: moltiplicando tra loro i termini a destra e quelli a sinistra nelle due disequazioni ottieni subito il risultato (e lo puoi fare in virtù del fatto che tutti i termini sono positivi)

Il mio controesempio? Serviva per dimostrare quello avevi detto anche tu, cioè che questa cosa è falsa:

"chess71":Siano $f$ e $g$ due funzioni decrescenti.
Allora il loro prodotto è decrescente se $fg>0$

Invece, come abbiamo concluso, è vera se $f>0$ e $g>0$ (insomma, se nell'enunciato ci metti una virgola tra $f$ e $g$ )
Ad ogni modo, il mio controesempio è inutilmente "complicato" bastava prendere $f(x)=g(x)=-x$. In $RR^-$, dove entrambe le funzioni sono positive, è verificata la tesi, in $RR^+$ no.