Processo studio di funzione.
Vorrei con voi fare una ricapitolazione per studiare una funzione:
1)il campo di esistenza, per veder dove è verificata
2)mi calcolo la derivata
3)gli zeri della derivata
4)poi la crescenza della derivata
5)vedo chi è minimo o chi è massimo. Qui ho un dubbio: come faccio a vedere se i punti sono tali? devo vedere se la funzione è derivabile nel punto? cosa devo fare?
6)flessi.....
grazie
1)il campo di esistenza, per veder dove è verificata
2)mi calcolo la derivata
3)gli zeri della derivata
4)poi la crescenza della derivata
5)vedo chi è minimo o chi è massimo. Qui ho un dubbio: come faccio a vedere se i punti sono tali? devo vedere se la funzione è derivabile nel punto? cosa devo fare?
6)flessi.....
grazie
Risposte
Ecco un esempio di una funzione : y= (x^2+x-2)/(x-2) che ha :
Dominio : (-inf, 2)U( 2, +inf)
x=2 asintoto verticale
y= x+3 asintoto obliquo
A(0,1) punto di max relativo
B(4,9) punto di minimo relativo
Non ha nè max assoluto nè min assoluto ( la funzione tende a +inf per x che tende a +inf ; mentre tende a -inf per x che tende a -inf.)
Camillo
Ecco il grafico
Dominio : (-inf, 2)U( 2, +inf)
x=2 asintoto verticale
y= x+3 asintoto obliquo
A(0,1) punto di max relativo
B(4,9) punto di minimo relativo
Non ha nè max assoluto nè min assoluto ( la funzione tende a +inf per x che tende a +inf ; mentre tende a -inf per x che tende a -inf.)
Camillo
Ecco il grafico
vicino alle n prima di max assoluto e min assoluto cosa c'è scritto? vedo uno strano simbolo.
La risposta che ho dato prima è corretta?
La risposta che ho dato prima è corretta?
C'è scritto :
Non ha ne' max assoluto , ne' min assoluto...
Per trovare max e minimi assoluti:
* determini il campo di esistenza della funzione
* esamini gli zeri della derivata prima e verifichi se corrispondono a punti di max o min relativo ( non c'è da fare nessun limite della derivata prima)
* calcoli i valori che la funzione assume agli estremi dell'insieme di definizione ( naturalmente infinito non è un numero come detto in altro post)
* calcoli i valori che la funzione assume negli eventuali punti in cui non è derivabile, ma continua.
** il maggiore di tutti questi numeri, se esiste, sarà il max assoluto
** il minore di tutti questi numeri, se esiste, sarà il minimo assoluto.
Sarebbe bene che tu provassi a fare un esercizio determinando max e min relativi e assoluti e poi vediamo se è corretto.
Camillo
Non ha ne' max assoluto , ne' min assoluto...
Per trovare max e minimi assoluti:
* determini il campo di esistenza della funzione
* esamini gli zeri della derivata prima e verifichi se corrispondono a punti di max o min relativo ( non c'è da fare nessun limite della derivata prima)
* calcoli i valori che la funzione assume agli estremi dell'insieme di definizione ( naturalmente infinito non è un numero come detto in altro post)
* calcoli i valori che la funzione assume negli eventuali punti in cui non è derivabile, ma continua.
** il maggiore di tutti questi numeri, se esiste, sarà il max assoluto
** il minore di tutti questi numeri, se esiste, sarà il minimo assoluto.
Sarebbe bene che tu provassi a fare un esercizio determinando max e min relativi e assoluti e poi vediamo se è corretto.
Camillo
nello studio di funzione a me viene anche chiesto di vedere se la funzione è pari dispari o periodica... solo che io non ho capito come si fa...
f(-x) = f(x) -> f(x) pari
f(-x) = - f(x) -> f(x) dispari
f(x+w) = f(x) -> f(x) periodica
bene, adesso che so questo che me ne faccio?? ^^;
f(-x) = f(x) -> f(x) pari
f(-x) = - f(x) -> f(x) dispari
f(x+w) = f(x) -> f(x) periodica
bene, adesso che so questo che me ne faccio?? ^^;
periodica non l'ho mai sentito....Questo è quello che so e si basa anche su cosa tu hai scritto prima: per quanto riguarda il verificare una funz pari: basta che sostituisci alle x presenti nella funzione -x; per quanto riguarda le funzioni dispari, devi mettere il meno davanti la funzione e cambiare di segno.Se in entrambi i casi la funzione è uguale a prima allora è rispettivamente pari o dispari.
quote:
Originally posted by camillo
* calcoli i valori che la funzione assume negli eventuali punti in cui non è derivabile, ma continua.
questi punti di non derivabilità, ma di continuità come me li trovo?dagli zeri della derivata prima? che poi vado a fare il limite della derivata per x---> x0+ ed un altro limite per x-->x0-. Dove x0 è lo zero della derivata prima. Se il risultato dei limiti non è uguale, allora la f(x) non è derivabile in quel punto.
Giusto?
Se una funzione è pari puoi studiarla solo da 0 a +inf e poi ribaltare il grafico rispetto all'asse y ( è simmetrica rispetto all'asse y)
Se è dispari allora è simmetrica rispetto all'origine e puoi sempre studiarla solo tra 0 e + inf e poi ribaltare il grafico rispetto all'asse y e poi ancora ribaltare quello che ottieni rispetto all'asse x
Se è periodica la studi solo in un periodo, ad es tra 0 e 2*pi e poi la funzione viene replicata infinite volte.
L'importante è capire bene come si fa a controllare ad es. che la funzione è pari :
es y= x^4+x^2 lo è , infatti : f(-x)=(-x)^4+(-x)^2= x^4+x^2 = f(x)
oppure dispari :
es. y = 2x^3-5x
infatti f(-x) = 2(-x)^3-5(-x) = -2x^3+5x = -(2x^3-5x) = - (f-x)
oppure nè pari nè dispari :
y= 2x^2 +7x
f(-x) = 2(-x)^2+7(-x) = 2x^2-7x .
Camillo
Se è dispari allora è simmetrica rispetto all'origine e puoi sempre studiarla solo tra 0 e + inf e poi ribaltare il grafico rispetto all'asse y e poi ancora ribaltare quello che ottieni rispetto all'asse x
Se è periodica la studi solo in un periodo, ad es tra 0 e 2*pi e poi la funzione viene replicata infinite volte.
L'importante è capire bene come si fa a controllare ad es. che la funzione è pari :
es y= x^4+x^2 lo è , infatti : f(-x)=(-x)^4+(-x)^2= x^4+x^2 = f(x)
oppure dispari :
es. y = 2x^3-5x
infatti f(-x) = 2(-x)^3-5(-x) = -2x^3+5x = -(2x^3-5x) = - (f-x)
oppure nè pari nè dispari :
y= 2x^2 +7x
f(-x) = 2(-x)^2+7(-x) = 2x^2-7x .
Camillo
@ Bandit : ti rispondo domani.
Camillo
Camillo
se mi dici pure l'orario orientativo possiamo anche "incontrarci"
ciao
ciao
@ Bandit:
Punti di continuità ma di non derivabilità per una funzione sono:
* i punti angolosi, dove la derivata destra è diversa da quella sinistra e quindi la funzione non è derivabile in quel punto; tipico caso y = abs(x-2), per x = 2 la funzione non è derivabile ( ha uno "spigolo"), ma per x =2 si ha proprio un minimo assoluto.
* i punti di flesso a tangente verticale ; essendo in quel punto la tangente verticale , la derivat tenderà ad infinito e quindi la funzione non è derivabile in quel punto( per essere derivabile deve esistere ed essere finito il limite del rapporto incrementale); caso tipico :y =(x-2)^(1/3) ; la derivata vale y' =(1/3)*1/(x-2)^(2/3) e quindi per x che tende a 2+ e a 2-, la derivata tende sempre + infinito.[ questa tipologia di punto non può comunque dar luogo a max o min]
* i punti di cuspide : ad es. y =(x-2)^(2/3), la derivata vale : y' = (2/3)*1/(x-2)^(1/3) e quindi la derivata in x=2 non esiste in quanto il limite per x che tende a 2- tende a -inf mentre per x che tende a 2+ la derivata tende a + inf e si ha una cuspide.
In conclusione in questi punti in cui la funzione è continua ma non derivabile va esaminato il valore assunto dalla funzione stessa e comparato con gli altri valori di minimi o massimi relativi per verificare quali siano , se ci sono i max o min assoluti.
Prova a collegarti domani verso le 12.15 /12.30.
ciao
Camillo
Punti di continuità ma di non derivabilità per una funzione sono:
* i punti angolosi, dove la derivata destra è diversa da quella sinistra e quindi la funzione non è derivabile in quel punto; tipico caso y = abs(x-2), per x = 2 la funzione non è derivabile ( ha uno "spigolo"), ma per x =2 si ha proprio un minimo assoluto.
* i punti di flesso a tangente verticale ; essendo in quel punto la tangente verticale , la derivat tenderà ad infinito e quindi la funzione non è derivabile in quel punto( per essere derivabile deve esistere ed essere finito il limite del rapporto incrementale); caso tipico :y =(x-2)^(1/3) ; la derivata vale y' =(1/3)*1/(x-2)^(2/3) e quindi per x che tende a 2+ e a 2-, la derivata tende sempre + infinito.[ questa tipologia di punto non può comunque dar luogo a max o min]
* i punti di cuspide : ad es. y =(x-2)^(2/3), la derivata vale : y' = (2/3)*1/(x-2)^(1/3) e quindi la derivata in x=2 non esiste in quanto il limite per x che tende a 2- tende a -inf mentre per x che tende a 2+ la derivata tende a + inf e si ha una cuspide.
In conclusione in questi punti in cui la funzione è continua ma non derivabile va esaminato il valore assunto dalla funzione stessa e comparato con gli altri valori di minimi o massimi relativi per verificare quali siano , se ci sono i max o min assoluti.
Prova a collegarti domani verso le 12.15 /12.30.
ciao
Camillo
beh, no, basta che confronti dominio di derivata e di funzione. il dominio della derivata è per forza più stretto o tuttalpiù uguale a quello della funzione (mai più ampio o cmq con intervalli diversi). se nel dominio della derivata manca un punto (non un intervallo, un punto) che invece nel dominio della funzione c'è, questo sarà un punto di continuità ma non di derivabilità. ad esempio, se il dominio della funzione è [0, inf) e quello della derivata è (0, inf) allora 0 è un punto di continuità ma non di derivabilità. cmq di solito si intuisce quando ci sono punti simili: quando appaiono radicali, tipo y=sqrtx (nella derivata la x va al denominatore e quindi x=0 che andava bene nel dominio della funzione non funziona più in quello della derivata) dove c'è di mezzo una tangente verticale, oppure quando ci sono i moduli che creano dei punti angolosi. (ho detto di solito, non sempre)
Ecco il grafico di y= |x-2| , caso di punto angoloso per x = 2.
In x=2 la funzione non è derivabile in quanto esiste una derivata destra(=1) e una derivata sinistra ( =-1) ma sono diverse .
Camillo
In x=2 la funzione non è derivabile in quanto esiste una derivata destra(=1) e una derivata sinistra ( =-1) ma sono diverse .
Camillo
Ecco il caso di funzione a flesso verticale crescente, y= (x-2)^(1/3)
In x=2 la funzione non è derivabile perchè per x=2 la derivata non è definita : il limite per x che tende a 2+ e anche a 2- della derivata è : +00.
Camillo
In x=2 la funzione non è derivabile perchè per x=2 la derivata non è definita : il limite per x che tende a 2+ e anche a 2- della derivata è : +00.
Camillo
Ecco il grafico della funzione y=(x-2)^(2/3) che presenta una cuspide per x = 2.
Per x=2 la derivata non è definita ; il limite per x che tende a 2+ della derivata vale + 00; mentre il limite per x che tende a 2- vale -00.
Camillo
Per x=2 la derivata non è definita ; il limite per x che tende a 2+ della derivata vale + 00; mentre il limite per x che tende a 2- vale -00.
Camillo
grazie camillo per il supporto grafico alla mia spegazione [:D]
Beh, veramente li ho fatti come supporto alla mia spiegazione [:D], ma vanno bene anche per la tua ......
Camillo
Camillo
oddio non avevo mica visto. scusa no mi ero accorto del tuo post per una strana coincidenza di eventi... infatti se guardi gli orari dei post non è molta la distanza da essi. ancora scusa, ciao
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