Processo studio di funzione.
Vorrei con voi fare una ricapitolazione per studiare una funzione:
1)il campo di esistenza, per veder dove è verificata
2)mi calcolo la derivata
3)gli zeri della derivata
4)poi la crescenza della derivata
5)vedo chi è minimo o chi è massimo. Qui ho un dubbio: come faccio a vedere se i punti sono tali? devo vedere se la funzione è derivabile nel punto? cosa devo fare?
6)flessi.....
grazie
1)il campo di esistenza, per veder dove è verificata
2)mi calcolo la derivata
3)gli zeri della derivata
4)poi la crescenza della derivata
5)vedo chi è minimo o chi è massimo. Qui ho un dubbio: come faccio a vedere se i punti sono tali? devo vedere se la funzione è derivabile nel punto? cosa devo fare?
6)flessi.....
grazie
Risposte
Per Bandit.
Non si dice "verificata" ma definita.
E poi cosa è la "crescenza" della derivata?
Non si dice "verificata" ma definita.
E poi cosa è la "crescenza" della derivata?
Io farei prima gli zeri della funzione e, se non troppo complesso anche la determinazione del segno della funzione, e dopo il calcolo della derivata .
Una cosa semplice da fare ( se 0 appartiene al dominio)e utile è calcolare f(0): con poco sforzo ottieni le coordinate di un punto della funzione ( l'intersezione con l'asse y).
Immagino la crescenza non sia il formaggio molle tipico padano, ma dove la funzione è crescente e dove è decrescente.
Se trovi che in un punto x0 la derivata è nulla e per x < x0 la derivata è positiva , mentre per x > x0 la derivata è negativa , allora x0 è punto di massimo (relativo)
Importante anche , dopo aver calcolato i limiti agli estremi dell'insieme di definizione , verificare se siano presenti o no asintoti obliqui, orizzontali o verticali.
Camillo
Una cosa semplice da fare ( se 0 appartiene al dominio)e utile è calcolare f(0): con poco sforzo ottieni le coordinate di un punto della funzione ( l'intersezione con l'asse y).
Immagino la crescenza non sia il formaggio molle tipico padano, ma dove la funzione è crescente e dove è decrescente.
Se trovi che in un punto x0 la derivata è nulla e per x < x0 la derivata è positiva , mentre per x > x0 la derivata è negativa , allora x0 è punto di massimo (relativo)
Importante anche , dopo aver calcolato i limiti agli estremi dell'insieme di definizione , verificare se siano presenti o no asintoti obliqui, orizzontali o verticali.
Camillo
Appunto, quindi si parla di positività, non di "crescenza" della derivata.
Per i massimi e minimi si puo' studiare il segno della derivata prima nel suo dominio o, piu' semplicemente, si calcola la derivata seconda e si guarda il segno di questa (se e' positiva NEL PUNTO allora hai un minimo, altrimenti un massimo; se e' nulla c'e' un flesso).
Perche' tu possa vedere i punti di massimo e minimo con questo metodo devono essere verificate le seguenti condizioni:
1) f di classe C^1 (se usi il segno della derivata prima)
2) f di classe C^2 (se usi f'')
3) Il dominio di f e' un aperto. (altrimenti devi controllare cosa accade sul bordo "a mano").
Perche' tu possa vedere i punti di massimo e minimo con questo metodo devono essere verificate le seguenti condizioni:
1) f di classe C^1 (se usi il segno della derivata prima)
2) f di classe C^2 (se usi f'')
3) Il dominio di f e' un aperto. (altrimenti devi controllare cosa accade sul bordo "a mano").
@fireball : positività della derivata prima = " crescenza " della funzione .
Camillo
Camillo
quote:
@fireball : positività della derivata prima = " crescenza " della funzione . [camillo]
e "crescenza" della der. prima = posi/nega-tività della der. seconda, cioè concav/convess-ità della funz.
(o non la si analizza?)
tony
grazie a tutti
quindi volendo riscrivere il processo di studio da 1) a seguire?......
quindi volendo riscrivere il processo di studio da 1) a seguire?......
quote:
Originally posted by camillo
Io farei prima gli zeri della funzione e, se non troppo complesso anche la determinazione del segno della funzione,
questo che intendi è quello di porre una volta a 0 la funz, e poi porla >0?
ciao
Sì esatto, risolvere l'equazione : f(x) = 0 e trovare così i valori di x per cui la funzione si annulla , cioè i cosidetti zeri della funzione.
Dopo, SE NON E' TROPPO COMPLICATO , RISOLVERE LA DISEQUAZIONE :
F(X) > 0 e vedere dove la funzione è positiva( e dove è negativa ).
Camillo
Dopo, SE NON E' TROPPO COMPLICATO , RISOLVERE LA DISEQUAZIONE :
F(X) > 0 e vedere dove la funzione è positiva( e dove è negativa ).
Camillo
quote:
Originally posted by camillo
@fireball : positività della derivata prima = " crescenza " della funzione .
Camillo
Certo. Però allora doveva scrivere "crescenza della funzione"
e non della derivata.
quote:
Originally posted by tony
e "crescenza" della der. prima = posi/nega-tività della der. seconda, cioè concav/convess-ità della funz.
(o non la si analizza?)
tony
Avevo pensato anche che intendesse questo, ma non credo...
quote:
quote:
e "crescenza" della der. prima = posi/nega-tività della der. seconda, cioè concav/convess-ità della funz.
(o non la si analizza?) [tony]
Avevo pensato anche che intendesse questo, ma non credo... [fireball]
perchè no?
per molte funz. "beneducate" a me pare un modo di vedere la con-cav/vess-ità senza doversi calcolare la derivata seconda.
non lo insegnano ? (non ne ho idea)
tony
quote:
... a me pare un modo di vedere la con-cav/vess-ità senza doversi calcolare la derivata seconda.
non lo insegnano ? (non ne ho idea) [tony]
speravo di sentire qualche notizia sull'andazzo odierno, ma non importa.
e chiudo qui, prima che la "crescenza" di Bandit si trasformi in "grana". [:)]
tony il casaro
allora di questa discussione causa assenza prolungata, me ne ero proprio dimenticato.
Cmq.....per crescenza intendevo dire dove la funzione cresce o decresce.
Quando trovo gli zeri della derivata, quindi dove cresce oppure decresce la funzione, cosa devo fare a quei punti di preciso, per sapere se somno di min o max?so che devo calcolare il limite ma con x tendente a cosa?
Cmq.....per crescenza intendevo dire dove la funzione cresce o decresce.
Quando trovo gli zeri della derivata, quindi dove cresce oppure decresce la funzione, cosa devo fare a quei punti di preciso, per sapere se somno di min o max?so che devo calcolare il limite ma con x tendente a cosa?
Per vedere se un estremante è un max o un min relativo ti calcoli il segno della derivata.
Se in un estremante si passa da positività a negatività, cioè se prima dell'estremante la funzione è crescente e dopo decrescente, allora quell'estremante è un max relativo, se invece si passa da negatività a positività allora è un min relativo.
Se in un estremante si passa da positività a negatività, cioè se prima dell'estremante la funzione è crescente e dopo decrescente, allora quell'estremante è un max relativo, se invece si passa da negatività a positività allora è un min relativo.
e per accertarmi che un punto sia di max o minimo assoluto?
Esamini i punti di massimo ottenuti tramite l'annullamento e lo studio del segno della derivata prima , poi guardi quanto vale la funzione agli estremi dell'insieme di definizione e infine controlli anche quanto vale la funzione nei punti in cui non è derivabile : a questo punto è facile dire qual è il punto di massimo assoluto( se esiste).
Camillo
Camillo
se il campo di esistenza è infinito?
altra cosa, per vedere se il massimo o il min assoluto, si può calcolare il limite della funzione per x --> + e poi - infinito. Se esce infinito, quello è pt. di max o min assoluto; se no , se esce un limite finito vado a confrontarlo come hai detto tu prima?
altra cosa, per vedere se il massimo o il min assoluto, si può calcolare il limite della funzione per x --> + e poi - infinito. Se esce infinito, quello è pt. di max o min assoluto; se no , se esce un limite finito vado a confrontarlo come hai detto tu prima?
Se per x che tende a + inf o a - inf la funzione tende a un limite finito ( ad es. 3) allora vuol dire che hai un asintoto orizzontale (ad es. y=3) ma questo non è certo nè max ne min ; la funzione non raggiungerà mai questo valore ma ci "tenderà" soltanto.
Se poi il limite per x che tende a + inf o a -inf vale +inf o -inf questi non sono certo nè max nè minimi( l'infinito non è numero!!!), ma vuol solo dire che la funzione è illimitata .
Ti consiglio di tracciare dei grafici di funzioni molto semplici , ce ne sono su tutti i libri; altrimenti resti su concetti astratti, ma purtroppo non corretti.
Camillo
Se poi il limite per x che tende a + inf o a -inf vale +inf o -inf questi non sono certo nè max nè minimi( l'infinito non è numero!!!), ma vuol solo dire che la funzione è illimitata .
Ti consiglio di tracciare dei grafici di funzioni molto semplici , ce ne sono su tutti i libri; altrimenti resti su concetti astratti, ma purtroppo non corretti.
Camillo
no no ho capito......quindi per trovare il max o min assoluto il limite della funz che tende a + o - infinito non serve:poichè indicano altre cose. Quindi ricapitolando, per trovare il max o minimo assoluto basta vedere se fa parte del campo di esistenza, e poi se abbiamo zeri (x0, x1,....) della derivata, fare il limite della derivata con x-->xo+ ed x-->x0- se il limite risultante è lo stesso allora il punto è di derivabilità e può essere di max o min assoluto basta vedere se sostituito nella funzione da un valore + grande di tutti, giusto?
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