Problemi teorici sulle derivate

[luca7111]

Ciao a tutti! Mi aiutate a risolvere i seguenti problemi teorici sulle derivate?

- Sia f(x) funzione definita in un intervallo [a,b] tale che f(x) risulta derivabile in (a,b) e f(a) = f(b). Allora esiste finito $lim_(x->a^+) f'(x)$? Perché?

- Sia $f: RR \to RR$ una funzione convessa e sia $f(x_0) = 0$. Allora esiste un unico $m in RR$ tale che $f(x) >= m(x - x_0) AA x in RR$? Perché?

- Sia f(x) funzione derivabile e strettamente convessa in (a,+∞). Allora f(x) è inferiormente limitata in (a,+∞)? Perché?

Grazie in anticipo!

[Frink1]

Partiamo dall'ultimo dubbio: se conosci la definizione di convessità (e soprattutto l'interpretazione grafica), non hai problemi a concludere la tesi.

[luca7111]

Intuitivamente mi verrebbe da dire che è ovvio che la funzione è inferiormente limitata, ma la soluzione dell'esercizio è che non è così. O almeno esiste almeno un caso in cui la funzione non sia inferiormente limitata.

[Rigel1]

"luca711":- Sia f(x) funzione definita in un intervallo [a,b] tale che f(x) risulta derivabile in (a,b) e f(a) = f(b). Allora esiste finito $lim_(x->a^+) f'(x)$? Perché?

E' falso. Prendi ad esempio \(f(x) = \sqrt{x-x^2}\), \(x\in [0,1]\).

- Sia $f: RR \to RR$ una funzione convessa e sia $f(x_0) = 0$. Allora esiste un unico $m in RR$ tale che $f(x) >= m(x - x_0) AA x in RR$? Perché?

E' vero che esiste \(m\) con tale proprietà, ma è falso che tale \(m\) sia unico.
Prendi ad esempio \(f(x) = |x|\), \(x_0 = 0\). Ti basta prendere un qualsiasi \(m\in [-1,1]\).

- Sia f(x) funzione derivabile e strettamente convessa in (a,+∞). Allora f(x) è inferiormente limitata in (a,+∞)? Perché?

E' falso. Prendi \(f(x) = e^{-x} - x\) in \((0, +\infty)\).