Problemi di cauchy
Sono due esercizi uno non riesco proprio ad esplicitare la y ed è il seguente :
$y'=(1+(senx)^2+y^2)^(1/3)$ e $y(0)=1$ la domanda è : La soluzione è definita in tutto R? (ma il mio problema come ho detto sorge da subito all'inizio dell'esercizio)
l'altro chiede di dire perchè i seguenti problemi di Cauchy hanno soluzione unica..ma anche qui non ne esco proprio fuori:
$y'=sqrt(1-y^2)/x$ e hanno rispettivamente soluzione $y(+-1)=-1/2$ e risolvendo il problema mi trovo in ambo i casi $y(x)=sen(log|x|-pi/6)$
Grazie
$y'=(1+(senx)^2+y^2)^(1/3)$ e $y(0)=1$ la domanda è : La soluzione è definita in tutto R? (ma il mio problema come ho detto sorge da subito all'inizio dell'esercizio)
l'altro chiede di dire perchè i seguenti problemi di Cauchy hanno soluzione unica..ma anche qui non ne esco proprio fuori:
$y'=sqrt(1-y^2)/x$ e hanno rispettivamente soluzione $y(+-1)=-1/2$ e risolvendo il problema mi trovo in ambo i casi $y(x)=sen(log|x|-pi/6)$
Grazie
Risposte
Mi pare ti avessi già detto che non c'è modo di ricavare la soluzione del primo esercizio, non capisco perchè ti ostini a provarci.
Comunque ho chiesto ad un professore come si può dire che la soluzione del tuo primo esercizio è definita su tutto $RR$ senza averne un'espressione.
In pratica ti basta osservare che l'equazione è sublineare (essendo 2/3 l'esponente di $y$ ed essendo gli altri due termini limitati per ogni $x$), quindi non c'è motivo per cui la soluzione possa esplodere in un tempo finito, e quindi avere un asintoto verticale e una conseguente "interruzione del suo insieme di definizione". Non sono sicuro al 100% della rigorosità di quanto ti ho scritto, ma l'idea penso sia giusta.
Per il secondo ora provo a farlo e ti faccio sapere.
Comunque ho chiesto ad un professore come si può dire che la soluzione del tuo primo esercizio è definita su tutto $RR$ senza averne un'espressione.
In pratica ti basta osservare che l'equazione è sublineare (essendo 2/3 l'esponente di $y$ ed essendo gli altri due termini limitati per ogni $x$), quindi non c'è motivo per cui la soluzione possa esplodere in un tempo finito, e quindi avere un asintoto verticale e una conseguente "interruzione del suo insieme di definizione". Non sono sicuro al 100% della rigorosità di quanto ti ho scritto, ma l'idea penso sia giusta.
Per il secondo ora provo a farlo e ti faccio sapere.
Grazie..purtroppo ho cercato nei miei messaggi il post ma non l'ho trovato e non ricordavo le considerazioni mi ricordavo solo che era rimasto irrisolto..ti ringrazio per la risposta ..per il secondo esercizio ti aspetterò con ansia =) Grazie ancora erano i pochi dubbi che mi erano rimasti.. domani ho l'esame =) =)
Qualcuno può spiegarmi meglio che cosa significa questa cosa dell'esplosione? La leggo molto spesso nei post relativi ad equazioni differenziali, ma non avendo fatto nel mio corso di analisi II un granché di teoria su questo argomento, non ho ancora capito che significa!
E' un concetto che si spiega sempre in modo informale perché una spiegazione rigorosa è piuttosto sottile e noiosa. Quello a cui si riferisce Giuly è (una versione del) teorema di unicità e di esistenza globale: se siamo in ipotesi di esistenza e unicità locale e in più, detta $y'=f(t, y)$ l'equazione, la funzione $f$ verifica una stima di crescita sublineare
$|f(t, y)|\le C_1+C_2|y|$
per costanti $C_1, C_2>0$, allora le soluzioni dell'equadiff sono definite nel più grande intervallo possibile. Questo teorema lo trovi di sicuro sul tuo libro di analisi 2.
Più in generale, un teorema dice che: quando si è in ipotesi di esistenza e unicità locale, le soluzioni possono cessare di esistere in un tempo finito solo abbandonando definitivamente l'insieme di definizione di $f$. Più precisamente, preso un qualsiasi compatto contenuto nel dominio di $f$, i grafici delle soluzioni lo abbandonano definitivamente. In particolare, se $f$ è definita ovunque (quindi se l'equazione non ha punti di singolarità che possano causare problemi alle soluzioni), allora le soluzioni possono cessare di esistere in un tempo finito solo "esplodendo", ovvero presentando un punto di infinito. Questo risultato si può usare per ottenere teoremi di esistenza globale delle soluzioni mediante studio qualitativo.
Per approfondimenti consiglio:
Analisi matematica 2 di Salsa e Pagani (rigorosamente la vecchia edizione, 1995);
il libro sulle equazioni differenziali ordinarie di Gerald Teschl (si può scaricare gratuitamente online, cerca "Teschl ode" ).
Altro materiale puoi trovare nella sezione [Dispense, appunti ed esercizi on line], in alto nella pagina. Cerca negli appunti del corso di Sistemi dinamici della Federico II, per esempio.
$|f(t, y)|\le C_1+C_2|y|$
per costanti $C_1, C_2>0$, allora le soluzioni dell'equadiff sono definite nel più grande intervallo possibile. Questo teorema lo trovi di sicuro sul tuo libro di analisi 2.
Più in generale, un teorema dice che: quando si è in ipotesi di esistenza e unicità locale, le soluzioni possono cessare di esistere in un tempo finito solo abbandonando definitivamente l'insieme di definizione di $f$. Più precisamente, preso un qualsiasi compatto contenuto nel dominio di $f$, i grafici delle soluzioni lo abbandonano definitivamente. In particolare, se $f$ è definita ovunque (quindi se l'equazione non ha punti di singolarità che possano causare problemi alle soluzioni), allora le soluzioni possono cessare di esistere in un tempo finito solo "esplodendo", ovvero presentando un punto di infinito. Questo risultato si può usare per ottenere teoremi di esistenza globale delle soluzioni mediante studio qualitativo.
Per approfondimenti consiglio:
Analisi matematica 2 di Salsa e Pagani (rigorosamente la vecchia edizione, 1995);
il libro sulle equazioni differenziali ordinarie di Gerald Teschl (si può scaricare gratuitamente online, cerca "Teschl ode" ).
Altro materiale puoi trovare nella sezione [Dispense, appunti ed esercizi on line], in alto nella pagina. Cerca negli appunti del corso di Sistemi dinamici della Federico II, per esempio.
"dissonance":
Questo teorema lo trovi di sicuro sul tuo libro di analisi 2.
Il tutor a cui ho chiesto ha detto esattamente la stessa cosa, peccato che la prof che ha scritto il mio libro non si è affatto degnata di esplicitare questo argomento.
Comunque per quanto riguarda il secondo esercizio a me viene da dire che le soluzioni non sono uniche:
con condizioni iniziali $y(-1)=-1/2$ si ottiene che una soluzione è $y(x)=sen(logx-pi/6)$, definita su $(0,+oo)$. Però se non ho sbagliato i conti si può prolungare in ogni punti di massimo o minimo del seno, uno dovrebbe essere in $x=e^(2/3 pi)$, incollandola alle due funzioni costanti $y=pm1$. Ovviamente la derivata tende ad annullarsi in quei punti e quindi in teoria si può fare.
Però l'esercizio chiede di provare il contrario, ragion per cui temo di aver sbagliato qualcosa.
Qualcuno che dà un parere in merito?
Edit: non avevo pensato in effetti che in un intorno dell'origine la soluzione fa abbastanza schifo, però questo non dovrebbe essere un problema ai fini della prolungabilità, anche se è probabile che per $x<1$ non si incolli bene alle due soluzioni costanti dell'equazione, se io prendo questa funzione:
$f(x)= { ( 1 if x>=e^(2/3pi)),( sen(logx-pi/6)if 0
Sbaglio?
Grazie per la spiegazione e per i consigli!
In questo caso ad esempio, $f$ è definita in tutto $RR^2$, non presenta quindi punti di singolarità. Come posso capire se le soluzioni "esplodono" o no?
In questo caso ad esempio, $f$ è definita in tutto $RR^2$, non presenta quindi punti di singolarità. Come posso capire se le soluzioni "esplodono" o no?
Se non ho capito male in parole povere devi verificare che la crescita della $y'=f(x,y)$ sia "controllata" linearmente dalla variabile $y$.
Del secondo esercizio tu che dici?
Del secondo esercizio tu che dici?
"Giuly19":
Se non ho capito male in parole povere devi verificare che la crescita della $y'=f(x,y)$ sia "controllata" linearmente dalla variabile $y$.
Del secondo esercizio tu che dici?
Attenzione: non "devi". E' una condizione sufficiente, ma non è necessaria.
Tanto è vero che c'è un altro tipo di condizione sufficiente basata sulla limitatezza della $f$.
Grazie della correzione!
Ma l'altra condizione quale sarebbe?
Ma l'altra condizione quale sarebbe?
Una versione semplice è questa: data $f:]a,b[ \times RR \to RR$, continua con derivata parziale rispetto alla $y$ continua, se $f$ è limitata sul suo dominio, allora un pb di Cauchy (con condizione iniziale nel dominio, ovviamente...) ha una ed una sola soluzione definita su tutto $]a,b[$.
La dimostrazione di questo fatto si basa sulla classica dimostrazione del teorema di sistenza ed unicità per il pb di Cauchy. Questa dimostrazione garantisce che, avendo una $f$ su un rettangolo del tipo $[x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$ la soluzione è definita su un intervallo di ampiezza $\delta$, essendo $\delta$ il minimo tra $a$ e $b/M$, con $M$ il max di $f$ sul rettangolo. La limitatezza di $f$ sulla striscia ci assicura che possiamo giocherellare aumentando a nostro piacimento l'altezza $b$ del rettangolo in modo che $\delta$ sia proprio $a$. Queste sono le idee essenziali. Poi ci sono i dettagli su cui "sudare", come al solito.
La dimostrazione di questo fatto si basa sulla classica dimostrazione del teorema di sistenza ed unicità per il pb di Cauchy. Questa dimostrazione garantisce che, avendo una $f$ su un rettangolo del tipo $[x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$ la soluzione è definita su un intervallo di ampiezza $\delta$, essendo $\delta$ il minimo tra $a$ e $b/M$, con $M$ il max di $f$ sul rettangolo. La limitatezza di $f$ sulla striscia ci assicura che possiamo giocherellare aumentando a nostro piacimento l'altezza $b$ del rettangolo in modo che $\delta$ sia proprio $a$. Queste sono le idee essenziali. Poi ci sono i dettagli su cui "sudare", come al solito.
Grazie mille, ora cerco di approfondire.
Non è che saresti anche così gentile da dare un'occhiata a quello che ho scritto riguardo l'unicità della soluzione dei problemi di Cauchy del secondo esercizio che era stato proposto all'inizio di questo post?
Non è che saresti anche così gentile da dare un'occhiata a quello che ho scritto riguardo l'unicità della soluzione dei problemi di Cauchy del secondo esercizio che era stato proposto all'inizio di questo post?
"abral":Per un esempio (straclassico!) puoi vedere qui:
Qualcuno può spiegarmi meglio che cosa significa questa cosa dell'esplosione? La leggo molto spesso nei post relativi ad equazioni differenziali,
...
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf
esempio 3 a pag. 7.
"Giuly19":
Grazie mille, ora cerco di approfondire.
Non è che saresti anche così gentile da dare un'occhiata a quello che ho scritto riguardo l'unicità della soluzione dei problemi di Cauchy del secondo esercizio che era stato proposto all'inizio di questo post?
Io credo che le soluzioni di quei problemi sono sicuramente uniche in locale per il teorema di esistenza e unicità locale (infatti la $f$ e la $f_y$ sono continue in un intorno di $(1,-1/2)$ e $(-1, -1/2)$)
"Fioravante Patrone":
[quote="Giuly19"]Se non ho capito male in parole povere devi verificare che la crescita della $y'=f(x,y)$ sia "controllata" linearmente dalla variabile $y$.
Del secondo esercizio tu che dici?
Attenzione: non "devi". E' una condizione sufficiente, ma non è necessaria.
Tanto è vero che c'è un altro tipo di condizione sufficiente basata sulla limitatezza della $f$.[/quote]
Quindi in questo caso essendo $f$ continua e sublineare, si può dire che la soluzione non "esplode"?
Abral a me non sembra proprio che sia continua la $f_y$ in un intorno di $(-1/2,pm1)$, altrimenti che esercizio sarebbe?
"abral":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="Giuly19"]Se non ho capito male in parole povere devi verificare che la crescita della $y'=f(x,y)$ sia "controllata" linearmente dalla variabile $y$.
Del secondo esercizio tu che dici?
Attenzione: non "devi". E' una condizione sufficiente, ma non è necessaria.
Tanto è vero che c'è un altro tipo di condizione sufficiente basata sulla limitatezza della $f$.[/quote]
Quindi in questo caso essendo $f$ continua e sublineare, si può dire che la soluzione non "esplode"?[/quote]Non ti fidi di dissonance?
Noto che dissonance, pure se con fare informale (come ci piace far sudare gli altri!), ha richiesto che $f$ soddisfi le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità in piccolo, ed in più sia sublineare. Questo se vogliamo rimanere in un contesto abbastanza standard.
Tieni presente che, se devo prendere alla lettera quello che dici, non hai garantita l'unicità della soluzione (non hai la lipschitzianità rispetto alla $y$ o suo surrogato). Quindi non puoi parla di "la soluzione".
"Giuly19":
Abral a me non sembra proprio che sia continua la $f_y$ in un intorno di $(-1/2,pm1)$, altrimenti che esercizio sarebbe?
Infatti in questo intorno non è continua, ma a me non interessa questo intorno qui...
Mi interessa l'intorno di $(1, -1/2)$ e $(-1, -1/2)$. Ti trovi?
"Fioravante Patrone":
[quote="abral"][quote="Fioravante Patrone"][quote="Giuly19"]Se non ho capito male in parole povere devi verificare che la crescita della $y'=f(x,y)$ sia "controllata" linearmente dalla variabile $y$.
Del secondo esercizio tu che dici?
Attenzione: non "devi". E' una condizione sufficiente, ma non è necessaria.
Tanto è vero che c'è un altro tipo di condizione sufficiente basata sulla limitatezza della $f$.[/quote]
Quindi in questo caso essendo $f$ continua e sublineare, si può dire che la soluzione non "esplode"?[/quote]Non ti fidi di dissonance?
Noto che dissonance, pure se con fare informale (come ci piace far sudare gli altri!), ha richiesto che $f$ soddisfi le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità in piccolo, ed in più sia sublineare. Questo se vogliamo rimanere in un contesto abbastanza standard.
Tieni presente che, se devo prendere alla lettera quello che dici, non hai garantita l'unicità della soluzione (non hai la lipschitzianità rispetto alla $y$ o suo surrogato). Quindi non puoi parla di "la soluzione".[/quote]
Hai ragione, avevo dimenticato di dire che $f_y$ è continua.
Quindi essendo $f$ continua e sublineare, essendo $f_y$ continua, si può dire che la soluzione non "esplode"?
"abral":
[quote="Giuly19"]Abral a me non sembra proprio che sia continua la $f_y$ in un intorno di $(-1/2,pm1)$, altrimenti che esercizio sarebbe?
Infatti in questo intorno non è continua, ma a me non interessa questo intorno qui...
Mi interessa l'intorno di $(1, -1/2)$ e $(-1, -1/2)$. Ti trovi?[/quote]
Hai ragione, ci vedo veramente male! XD
Però mi sembra comunque vero che l'unicità resti valida solo in $(0,+oo)xx[-1+epsilon,1-epsilon],epsilon>0$, quindi secondo me quello che ho scritto riguardo il prolungamento non è sbagliato. Anche perchè la soluzione trovata analiticamente assume più volte il valore $pm1$. Tu che dici?
"abral":Certo che si può dire.
...
Hai ragione, avevo dimenticato di dire che $f_y$ è continua.
Quindi essendo $f$ continua e sublineare, essendo $f_y$ continua, si può dire che la soluzione non "esplode"?
Tieni presente che questi risultati di esistenza in grande di solito sono enunciati per una funzione definita su un insieme del tipo $I \times RR$ (ovvero, una "striscia verticale"). Se l'insieme di definizione non è una "striscia verticale" bisogna fare un'analisi dettagliata, ad hoc.
Esempio stupidino, per vedere il tipo di pb che si possono incontrare: $y' = 1$, con condizione iniziale $y(1) = 0$. La soluzione è $y(x) = x-1$. Nessun problema. Ma, se per qualche motivo il secondo membro dell'equazione differenziale fosse sempre la funzione identicamente uguale ad $1$, ma ristretta a questo sottoinsieme di $RR^2$: $A = { (x,y) \in RR^2 : x>0, 0 < y < x/2 }$, cosa succede? Che la soluzione $x-1$ va a "sbattere" contro il bordo di $A$...
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