Problema su un'equazione
Buongiorno amici, ho un problema nel determinare i seguenti valori:
\(\displaystyle a,b \in\mathbb{R} : a,b \ge 0 \) i seguenti valori rispecchiano le seguenti proprietà :
\(\displaystyle ab=p \).
Chiede di determinare per quali valori \(\displaystyle a,b \) la somma \(\displaystyle a+b=q \) sia minima.
Quindi le seguenti relazioni
1) \(\displaystyle ab=p \)
2) \(\displaystyle a+b=q \)
sono le soluzioni dell'equazione \(\displaystyle x^2-qx+p =0 \), affinché ammetta soluzioni reali \(\displaystyle q^2-4p\ge 0 \). Essendo che sia \(\displaystyle q,p \ge 0 \) si ha che \(\displaystyle q \ge 2\sqrt (p) \), quindi \(\displaystyle q=2\sqrt p \).
Dobbiamo cercare \(\displaystyle a,b \) quindi sostituisco nella seconda del sistema e si ha:
\(\displaystyle a+b= 2\sqrt ab \)
\(\displaystyle a^2+b^2+2ab=4ab \)
\(\displaystyle a^2+b^2=2ab \)
quindi si ha:
\(\displaystyle a^2=ab \)
\(\displaystyle b^2=ab \)
allora \(\displaystyle a=b=\sqrt ab=\sqrt p \).
Il risultato è \(\displaystyle \sqrt 2 p^\frac{1}{4} \).
Grazie in anticipo
\(\displaystyle a,b \in\mathbb{R} : a,b \ge 0 \) i seguenti valori rispecchiano le seguenti proprietà :
\(\displaystyle ab=p \).
Chiede di determinare per quali valori \(\displaystyle a,b \) la somma \(\displaystyle a+b=q \) sia minima.
Quindi le seguenti relazioni
1) \(\displaystyle ab=p \)
2) \(\displaystyle a+b=q \)
sono le soluzioni dell'equazione \(\displaystyle x^2-qx+p =0 \), affinché ammetta soluzioni reali \(\displaystyle q^2-4p\ge 0 \). Essendo che sia \(\displaystyle q,p \ge 0 \) si ha che \(\displaystyle q \ge 2\sqrt (p) \), quindi \(\displaystyle q=2\sqrt p \).
Dobbiamo cercare \(\displaystyle a,b \) quindi sostituisco nella seconda del sistema e si ha:
\(\displaystyle a+b= 2\sqrt ab \)
\(\displaystyle a^2+b^2+2ab=4ab \)
\(\displaystyle a^2+b^2=2ab \)
quindi si ha:
\(\displaystyle a^2=ab \)
\(\displaystyle b^2=ab \)
allora \(\displaystyle a=b=\sqrt ab=\sqrt p \).
Il risultato è \(\displaystyle \sqrt 2 p^\frac{1}{4} \).
Grazie in anticipo
Risposte
Più semplicemente, essendo un problema di minimo, puoi ragionare così. Visto che il prodotto è fissato, possiamo scrivere $b=p/a$, ovviamente con la condizione che $a\ne 0$ (nel caso in cui $a=0$ avremmo $p=0$ e di conseguenza la somma risulta minima per $b=0$). Puoi allora considerare la funzione seguente, dipendente da $a$, $f(a)=a+p/a$, che esprime la somma. Applicando la derivata a tale funzione si ottiene
$$ f'(a)=1-\frac{p}{a^2}=\frac{a^2-p}{a^2} $$
Tale derivata si annulla per $a=\sqrt{p}$ (escludo il valore negativo), che risulta il valore di $a$ per cui si ha il minimo della somma. Sostituendo si trova pure $b=p/\sqrt{p}=\sqrt{p}=a$, che conferma quanto da te esposto (forse in modo un po' più complesso, ma va benissimo).
$$ f'(a)=1-\frac{p}{a^2}=\frac{a^2-p}{a^2} $$
Tale derivata si annulla per $a=\sqrt{p}$ (escludo il valore negativo), che risulta il valore di $a$ per cui si ha il minimo della somma. Sostituendo si trova pure $b=p/\sqrt{p}=\sqrt{p}=a$, che conferma quanto da te esposto (forse in modo un po' più complesso, ma va benissimo).
Grazie per la risposta, ho dovuto fare questi passaggi visto che "non ho studiato ancora la derivata".
Ma il risultato è :\(\displaystyle \sqrt 2 \ p^\frac{1}{4} \).
Ma il risultato è :\(\displaystyle \sqrt 2 \ p^\frac{1}{4} \).
Quanto fa $\sqrt{p}+\sqrt{p}$????
2\(\displaystyle \sqrt p \).
Che è il risultato corretto. Ti faccio presente che anche tu hai trovato $a=b=\sqrt{p}$....
allora l'esercizio mi ha dato una soluzione errata? Perché mi da come soluzione questa :
\(\displaystyle a=b= \sqrt 2 \ p^\frac{1}{4} \)
\(\displaystyle a=b= \sqrt 2 \ p^\frac{1}{4} \)
Non mi pare proprio avere senso quella soluzione, del resto se fai il prodotto di $a$ e $b$ con quei valori, viene fuori $2\sqrt{p}$.
Ok... grazie
"galles90":
Buongiorno amici, ho un problema nel determinare i seguenti valori:
\(\displaystyle a,b \in\mathbb{R} : a,b \ge 0 \) i seguenti valori rispecchiano le seguenti proprietà :
\(\displaystyle ab=p \).
Chiede di determinare per quali valori \(\displaystyle a,b \) la somma \(\displaystyle a+b=q \) sia minima.
Quindi le seguenti relazioni
1) \(\displaystyle ab=p \)
2) \(\displaystyle a+b=q \)
sono le soluzioni dell'equazione \(\displaystyle x^2-qx+p =0 \), affinché ammetta soluzioni reali \(\displaystyle q^2-4p\ge 0 \). Essendo che sia \(\displaystyle q,p \ge 0 \) si ha che \(\displaystyle q \ge 2\sqrt (p) \), quindi \(\displaystyle q=2\sqrt p \).
Dobbiamo cercare \(\displaystyle a,b \) quindi sostituisco nella seconda del sistema e si ha:
\(\displaystyle a+b= 2\sqrt ab \)
\(\displaystyle a^2+b^2+2ab=4ab \)
\(\displaystyle a^2+b^2=2ab \)
quindi si ha:
\(\displaystyle a^2=ab \)
\(\displaystyle b^2=ab \)
allora \(\displaystyle a=b=\sqrt ab=\sqrt p \).
Il risultato è \(\displaystyle \sqrt 2 p^\frac{1}{4} \).
Grazie in anticipo
Il problema equivale al problema geometrico di determinare se esistono rettangoli di area $p$ ad avere minimo il semiperimetro, o equivalentemente il perimetro.
È noto che questa proprietà di minimo è soddisfatta solo dai quadrati, ergo si ha $a=b=\sqrt{p}$ come già trovato e dunque $q_(min) = 2\sqrt{p}$.
Noto, di sfuggita, che il valore di $q_(min)$ fornito nella soluzione è la radice di quello determinato correttamente; quindi è probabile un errore di battitura dell'estensore della soluzione.
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