[Problema] Serie numerica

[Carlo952]

Salve,
ho trovato difficoltà nello svolgimento di questo esercizio sullo studio del carattere di una serie numerica:

1) Determinare il carattere della serie:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n} \)

Posto \(\displaystyle a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n} \)
Osservo che \(\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}_{n}>0 \ \forall\ n \in\ \mathbb{N}\ \) in quanto \(\displaystyle a_{n} \) è prodotto tra \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \) , che è sempre positivo in quanto \(\displaystyle \sqrt{n}\ \)è sempre positivo con n positivo, e \(\displaystyle arcsin \frac{1}{n} \) che è ovviamente positivo in quanto \(\displaystyle \frac{1}{n} \) è positivo.

Pertanto, essendo la serie a termini positivi posso applicare i criteri per lo studio del carattere di una serie a termini positivi.

Verifico innanzitutto la condizione necessaria alla convergenza di Cauchy
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_{n} = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n}=0*0=0 \)
Il limite vale 0, pertanto la serie numerica può convergere o divergere

Applico il criterio del rapporto
Essendo \(\displaystyle a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n} \)
calcolo \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} arcsin \frac{1}{n+1} \)
Calcolo \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}} arcsin \frac{1}{n+1}}{\frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n}} = 1\)
Il criterio del rapporto fallisce, quindi non ha senso usare il criterio della radice.

Applico il criterio del confronto
Trovo una successione che maggiori \(\displaystyle a_{n} \) e la chiamo \(\displaystyle b_{n}=\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{n}} \)
Essendo \(\displaystyle a_{n} \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n} \)<\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \)
Essendo \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \) divergente il criterio del confronto fallisce e fallirebbe anche il criterio del confronto asintotico.

Non avrebbe senso applicare il criterio di condensazione in quanto trasporterei il problema dallo studio di una serie allo studio di un'altra pià complessa.

Applico il criterio di Abel
Posto \(\displaystyle a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\)
Posto \(\displaystyle b_{n} = arcsin \frac{1}{n}\)
Essendo \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_{n} =0 \)
ed essendo \(\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}_{n} \) decrescente \(\displaystyle \forall\ n \in\ \mathbb{N} \) in quanto la derivata prima della successione \(\displaystyle a_{n} \) è negativa per valori di n maggiori di zero, posso applicare il criterio di Abel.
Se riuscissi a dimostrare che la successione delle somme parziali della serie \(\displaystyle \left \{ b_{n} \right \}_{n} \) che indico con \(\displaystyle s_{n} \) è limitata allora avrei dimostrato la convergenza della serie di partenza...
Il problema è che non riesco a dimostrare la limitatezza di \(\displaystyle s_{n} \)
Spero qualcuno possa darmi una mano :/
P.S: Il ragionamento che ho fatto è corretto o ci sono delle imperfezioni? Quando mi trovo di fronto a una serie che si presenta come prodotto tra una successione limitata e una successione infinitesima e decrescente mi converrebbe applicare fin da subito il criterio di Abel e lasciar stare gli altri criteri? C'è un modo per capire che criterio utilizzare fin da subito senza perdere tempo in inutili calcoli?

[Seneca1]

Il criterio dell'ordine di infinitesimo? Per $n \to \infty$
\[ \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \arcsin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{n} \]
Siccome la serie $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge, anche la tua serie converge.

[Carlo952]

"Seneca":Il criterio dell'ordine di infinitesimo? Per $n \to \infty$
\[ \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \arcsin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{n} \]
Siccome la serie $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge, anche la tua serie converge.

Grazie per aver risposto Seneca,
a quanto pare mi sono inutilmente complicato la vita con criteri più complessi.
Bastava notare che moltiplicando la serie per un infinito dello stesso ordine del tipo \(\displaystyle n^{\alpha} \) con\(\displaystyle \alpha>0 \) il limite per \(\displaystyle {n \to+\infty} \) era maggiore di 0 e quindi per il criterio dell'ordine di infinitesimo la serie converge:
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n^{\alpha} a_{n}=\lim_{n \to + \infty} n^{\alpha} \frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n} \)
Scegliendo opportunamente \(\displaystyle \alpha = \frac{3}{2}>0 \) si osserva che
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}} arcsin \frac{1}{n} = \lim_{n\\ \to + \infty} n\ arcsin \frac{1}{n} = \lim_{t \to 0} \frac{arcsin t}{t}=1>0 \)
e quindi è dimostrata la convergenza.