Problema ricerca massimi minimi relativi e punto di sella
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio.
Data la funzione reale $f(x,y) = -3x^(3)-3y^(3)+2+2xy$
Verificare se il punto $ P(2/9;2/9)$ è un punto di sella, minimo relativo, massimo relativo o flesso.
Calcolo le derivate parziali prime
$f’(xx)=-9x^(2)+2y$
$f’(yy)=-9y^(2)+2x$
Calcolo le derivate parziali seconde e ne ottengo 4
$f’’(xx) = -18x; f’’(yy)=-18y; f’’(xy)=f’’(yx) = 2$
Nel punto $(2/9;2/9)$ le derivate prime si annullano, quindi per condizione necessaria posso affermare per ora che ho un massimo e minimo relativo. Ora però mi blocco, devo trovare i punti stazionari mettendo a sistema le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero ma non riesco a impostare i passaggi per la sostituzione
Grazie
Data la funzione reale $f(x,y) = -3x^(3)-3y^(3)+2+2xy$
Verificare se il punto $ P(2/9;2/9)$ è un punto di sella, minimo relativo, massimo relativo o flesso.
Calcolo le derivate parziali prime
$f’(xx)=-9x^(2)+2y$
$f’(yy)=-9y^(2)+2x$
Calcolo le derivate parziali seconde e ne ottengo 4
$f’’(xx) = -18x; f’’(yy)=-18y; f’’(xy)=f’’(yx) = 2$
Nel punto $(2/9;2/9)$ le derivate prime si annullano, quindi per condizione necessaria posso affermare per ora che ho un massimo e minimo relativo. Ora però mi blocco, devo trovare i punti stazionari mettendo a sistema le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero ma non riesco a impostare i passaggi per la sostituzione
Grazie
Risposte
Non credo che le funzioni in più variabili si facciano nelle secondarie, ergo sposto in analisi - al massimo i mod di analisi mi tirano metaforicamente le orecche e rispostano il messaggio qui. 
***
Intanto un consiglio, se vuoi la "doppia x" metti uno spazio nelle formule altrimenti ti fa il simbolo del prodotto cartesiano. In altre parole
xx $ \quad \to xx$
x x $ \quad \to x x$
Per il resto, come hai detto
$f'_x = -9x^2+2y$
$f'_y = -9y^2+2x$
E le derivate parziali seconde sono
$f''_(x x) = -18x$
$f''_(yy) = -18y$
$f''_(xy) = f''_(yx) = 2$
Per il resto, hai provato a calcolare il determinante dell'Hessiana nel punto in questione e vedere se viene nullo?
Ricordo, in questo caso
$H (x,y) = [ ( -18x , 2 ),( 2 , -18y ) ]$
***
Intanto un consiglio, se vuoi la "doppia x" metti uno spazio nelle formule altrimenti ti fa il simbolo del prodotto cartesiano. In altre parole
xx $ \quad \to xx$
x x $ \quad \to x x$
Per il resto, come hai detto
$f'_x = -9x^2+2y$
$f'_y = -9y^2+2x$
E le derivate parziali seconde sono
$f''_(x x) = -18x$
$f''_(yy) = -18y$
$f''_(xy) = f''_(yx) = 2$
Per il resto, hai provato a calcolare il determinante dell'Hessiana nel punto in questione e vedere se viene nullo?
Ricordo, in questo caso
$H (x,y) = [ ( -18x , 2 ),( 2 , -18y ) ]$
Ciao! grazie per la risposta! Scusami, hai ragione non era un argomento da secondaria!Pardon!
Comunque sì, ho trovato il determinante con l'Hessiana , il problema è che devo inserire al posto di $x$ e $y$ le coordinate dei punti stazionari. Gli stazionari li trovo risolvendo il sistema tra le derivate parziali prime, è corretto?
Il problema è che mi incarto col sistema
Non ho provato invece a sostituire $(2/9;2/9)$ dovevo? Grazie
Comunque sì, ho trovato il determinante con l'Hessiana , il problema è che devo inserire al posto di $x$ e $y$ le coordinate dei punti stazionari. Gli stazionari li trovo risolvendo il sistema tra le derivate parziali prime, è corretto?
Il problema è che mi incarto col sistema
Non ho provato invece a sostituire $(2/9;2/9)$ dovevo? Grazie
Ciao Marco1005,
$ P(2/9;2/9) $ è un punto di massimo relativo per la funzione $z = f(x, y) = - 3x^3 - 3y^3 + 2 + 2xy $ avente dominio $D = \RR^2 $ e si ha:
$z_P = f(2/9, 2/9) = 494/243 > 2 = z_O = f(0, 0) $
$ P(2/9;2/9) $ è un punto di massimo relativo per la funzione $z = f(x, y) = - 3x^3 - 3y^3 + 2 + 2xy $ avente dominio $D = \RR^2 $ e si ha:
$z_P = f(2/9, 2/9) = 494/243 > 2 = z_O = f(0, 0) $
"Zero87":
Non credo che le funzioni in più variabili si facciano nelle secondarie, ergo sposto in analisi - al massimo i mod di analisi mi tirano metaforicamente le orecche e rispostano il messaggio qui.
In effetti in alcuni indirizzi degli istituti tecnici si fanno dei cenni alle funzioni in due variabili, ma questo esercizio credo che qui stia benone.
"Marco1005":
Ciao! grazie per la risposta! Scusami, hai ragione non era un argomento da secondaria!Pardon!
Non fa nulla... poi, certo, se i prossimi 100 messaggi li metti in sezioni errate allora in quel caso...
(
)Comunque sì, ho trovato il determinante con l'Hessiana , il problema è che devo inserire al posto di $x$ e $y$ le coordinate dei punti stazionari. Gli stazionari li trovo risolvendo il sistema tra le derivate parziali prime, è corretto?
Il problema è che mi incarto col sistema
Non ho provato invece a sostituire $(2/9;2/9)$ dovevo? Grazie
Sì, anche se arrivo tardi, hanno risposto altri utenti.
@melia, intendo questo... sono rimasto al programma dello scientifico pni (di 20 anni fa).
"pilloeffe":
Ciao Marco1005,
$ P(2/9;2/9) $ è un punto di massimo relativo per la funzione $z = f(x, y) = - 3x^3 - 3y^3 + 2 + 2xy $ avente dominio $D = \RR^2 $ e si ha:
$z_P = f(2/9, 2/9) = 494/243 > 2 = z_O = f(0, 0) $
Ciao Pillo, grazie per la risposta; guarda in questi giorni io ho fatto questo ragionamento:
mi sono chiesto perchè trovare i punti "stazionari" mettendo a sistema le due derivate parziali prime quando l'esercizio mi da già un punto da verificare, appunto $(2/9;2/9)$
Ho quindi verificato che sostituendo i valori di $x=2/9$ e $y=2/9$ all'interno delle derivate parziali prime ottengo $0$ in entrambe.
Perfetto questo è un punto stazionario, devo solo capire di che tipo (massimo relativo, minimo relativo, flesso o sella); quindi procedo come detto sopra da ZERO87 calcolando l'hessiano e sostituendo i valori $(2/9;2/9)$ al suo interno ottenendo un valore di $H (x;y)$ pari a $12$. Successivamente ho calcolato il valore della derivata parziale seconda di $x$ nel valore di $x=2/9$ ottenendo $-4$.
In conclusione ho un $H>0$ e $f''x x <0$ - da qui deduco di trovarmi di fronte a un massimo relativo.
Fatemi sapere se ho commesso qualche errore (di solito ne faccio sempre
)grazie
"Zero87":
[quote="Marco1005"]Ciao! grazie per la risposta! Scusami, hai ragione non era un argomento da secondaria!Pardon!
Non fa nulla... poi, certo, se i prossimi 100 messaggi li metti in sezioni errate allora in quel caso...
(
)Comunque sì, ho trovato il determinante con l'Hessiana , il problema è che devo inserire al posto di $x$ e $y$ le coordinate dei punti stazionari. Gli stazionari li trovo risolvendo il sistema tra le derivate parziali prime, è corretto?
Il problema è che mi incarto col sistema
Non ho provato invece a sostituire $(2/9;2/9)$ dovevo? Grazie
Sì, anche se arrivo tardi, hanno risposto altri utenti.
@melia, intendo questo... sono rimasto al programma dello scientifico pni (di 20 anni fa).
[/quote]Più o meno abbiamo la stessa età zero87 quindi penso che le cose siano simili
- personalmente l'hessiano l'ho fatto in quinta ragioneria; il quesito postato in effetti si riferisce ad una prova d'esame di matematica all'università. Ma lo stesso ragazzo ha appunto accennato le funzioni in due variabili già al quinto anno delle superiori - anche lui a ragioneria. Quindi nel dubbio l'ho postato di la 
"Marco1005":
Ciao Pillo, grazie per la risposta
Prego!
"Marco1005":
Ora però mi blocco, devo trovare i punti stazionari mettendo a sistema le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero ma non riesco a impostare i passaggi per la sostituzione
Fermo restando che naturalmente puoi ragionare come hai già fatto, dato che il punto $P(2/9; 2/9) $ ti viene assegnato, non è comunque complicato trovarlo col sistema non lineare che si ottiene:
${(-9x^2+2y = 0),(-9y^2+2x= 0):}$
Dalla prima equazione si ottiene subito $2y = 9x^2 \implies y = 9/2 x^2 $ che, sostituito nella seconda, porge l'equazione seguente:
$- 9 (9/2 x^2)^2 + 2x = 0 $
$ - 9^3 x^4 + 8 x = 0 $
$ 9^3 x^4 - 8 x = 0 $
$ x (9^3 x^3 - 8) = 0 $
$ x (x^3 - 2^3/9^3) = 0 $
$x [x^3 - (2/9)^3] = 0 $
$x (x - 2/9)[x^2 + 2/9 x + (2/9)^2] = 0 $
Per il principio di annullamento di un prodotto, esso si annulla se si annullano i suoi fattori, ma non è difficile rendersi conto che il terzo fattore, quello fra parentesi quadre, non si annulla mai in $\RR $, pertanto le uniche soluzioni reali sono $x = 0 \implies y = 0 \implies O(0; 0) $ e $x = 2/9 \implies y = 2/9 \implies P(2/9; 2/9) $
"pilloeffe":
[quote="Marco1005"]Ciao Pillo, grazie per la risposta
Prego!
[/quote]Grazie Pillo per la spiegazione, a me continuava a risultare solo il punto $ x = 0$ e $y=0$ dal sistema quindi era parzialmente incoerente con il punto $(2/9;2/9)$, pertanto ho preferito procedere nel metodo più semplice.
Poi quando inizio a vedere $x^3$ credo già di aver sbagliato qualcosa e mi altero
Effettivamente rifacendolo con calma il risultato è quello, non ci piove
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