Problema Limite

[cipicchio]

Premetto che ho già passato questo esame, ma mi serve per aiutare un amico (però avendolo passato tempo fa potrei fare errori stupidi)
Deve risolvere questo limite
(limite già semplificato dopo vari passaggi)

$\lim_{x\to 0}{\frac{3x^{4}}{1-\sqrt{1+x^{2}}*cosx}}$
che calcolando online viene 9

se me lo fossi trovato nel compito... avrei usato hopital 4 volte, ma cerchiamo una soluzione più seria

non mi venivano in mente ne limiti notevoli da applicare ne cambi di variabile sensati

allora ho deciso di razionalizzare

$\lim_{x\to 0}{\frac{3x^{4}}{1-\sqrt{1+x^{2}}*cosx}}*{\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}*cosx}{1+\sqrt{1+x^{2}}*cosx}}$

quindi numeratore lascio così e denominatore viene
$1-cos^2(x)-x^2*cos^2(x)$

ricordando trigonometria

$sen^2(x)+cos^2(x)=1$

al posto di

$1-cos^{2}x$

scrivo

$sen^{2}x$

quindi al momento mi ritrovo con

$\lim_{x\to 0}{\frac{3x^{4}*(1+\sqrt{1+x^{2}}*cosx)}{sen^{2}x-x^{2}*cos^{2}x}}$

e secondo il calcolatore fa ancora 9

al denominatore raccolgo x^2 e quindi ottengo
$\lim_{x\to 0}{\frac{3x^{4}*(1+\sqrt{1+x^{2}}*cosx)}{x^{2}(\frac{sen^{2}x}{x^{2}}-cos^{2}x)}}$

senx/x limite notevole che fa 1
e semplifico x^4 con x^2 sotto
$\lim_{x\to 0}{\frac{3x^{2}*(1+\sqrt{1+x^{2}}*cosx)}{1-cos^{2}x}}$

e qua il calcolatore mi fa 6! cosa ho sbagliato O_O

infatti anche a me viene 6

il denominatore applico di nuovo il teorema di trigonometria e $1-cos^{2}x=sen^{2}x$

limite notevole senx/x che fa 1
e risolvo il limite e viene 6.... ma non 9 che dovrebbe fare come mai?

spero si capisca e grazie

[cipicchio]

Grazie!!!
mi hai aperto un mondo, è una cosa che non ho mai saputo (e penso che non mi abbiamo mai spiegato neanche)
La tua spiegazione è chiarissima e non fa una piega.
Per fortuna con l'o piccolo un po me la cavo

E grazie ancora per il tempo concesso