Problema integrale

[cece101]

ragazzi sono arriva ad un punto dello svolgimento di un integrale, e mi sono bloccato...

$ int_(2)^(k) 1/ (xe^(x/2)) dx $

come procedereste voi??

io ho provato per sostituzione... sostituendo x/2 = t, di conseguenza dt = 1/2 dx, e dx=2dt ma arrivo a questo risultato..

$ int_(2)^(k) 1/(te^t)dt $

poi ? come mi muovo grazie per l'aiuto

[_prime_number]

Hai presente il trucco per svolgere $\int sin^2 x dx$ in cui si integra 2 volte per parti? Ecco, prova una cosa simile integrando per parti con $f(t)=(t e^t)^{-1}, g'(t)=1$. Non ho svolto tutti i conti ma credo possa funzionare.

Paola

[Rigel1]

A me sembra che quella funzione non ammetta primitive elementari (di fatto è un integrale del tipo \(\int \frac{e^t}{t} dt\)).

[gugo82]

"cece10": $ int_(2)^(k) 1/ (xe^(x/2)) dx $

come procedereste voi??

io ho provato per sostituzione... sostituendo x/2 = t, di conseguenza dt = 1/2 dx, e dx=2dt ma arrivo a questo risultato..

$ int_(2)^(k) 1/(te^t)dt $

Come diceva Righello, quell'integrale indefinito non è calcolabile elementarmente.

Ed infatti esiste una funzione speciale, il cosiddetto integrale esponenziale, definita ponendo:
\[
\operatorname{Ei}(x):=\int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t}\ \text{d} t \stackrel{\tau =-t}{=} -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-\tau}}{\tau}\ \text{d} \tau
\]
per \(x<0\) e:
\[
\operatorname{Ei} (x):= \operatorname{V.P.} \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t}\ \text{d} t
\]
per \(x>0\), in cui \(\operatorname{V.P.}\int_{-\infty}^x\) è un integrale a valore principale (nel senso di Cauchy), ovvero:
\[
\operatorname{V.P.} \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t}\ \text{d} t := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \int_{-\infty}^{-\varepsilon} \frac{e^t}{t}\ \text{d} t +\int_\varepsilon^x \frac{e^t}{t}\ \text{d} t\right)
\]
(quindi un integrale improprio calcolato escludendo dall'insieme di integrazione intervalli \(]-\varepsilon ,\varepsilon[\) simmetrici rispetto a \(0\), che è l'unica discontinuità dell'integrando).

Quindi o è sbagliato il testo dell'esercizio (se si tratta di qualche esercizio di Analisi I), oppure ti serve una tabella per calcolare quell'integrale (perché le funzioni speciali le trovi tabulate).