Problema impossibile (almeno per me....)
Ciao a tutti. Ho bisogno di aiuto con questo problema:
Un antibiotico (600mg) e' aggiunto in vena ripetutamente ad intervalli per curare un paziente. La medicina non ha effetto se la sua concentrazione nel sangue e' minore di 0.0001 mg/ml ed e' tossica se la concentrazione supera 0.055 mg/ml. Bisogna determinare come si comporta la concentrazione della medicina nel sangue in funzione del tempo e determinare il miglior intervallo di tempo tra le iniezioni. La medicina e' costosa. Sono fornite le seguenti ipotesi iniziali:
a) il paziente ha un volume fluido di 12 Litri (quindi dai miei calcoli ha un volume di plasma pari a 4 Litri)
b)una certa parte della medicina e' eliminata dal copro attraverso i reni
c)una certa parte della medicina e' eliminata dal copro attraverso il metabolismo
d) 4 ore dopo l'iniezione iniziale, la concentrazione della medicina nel sangue e' 0.0005 mg/ml
d) 4 ore dopo l'iniezione iniziale, la concentrazione della medicina nel sangue e' 0.002 mg/ml
Altre informazioni da trovare:
1) in che quantita' l'antibioitco e' rimosso dal sistema attraverso i reni e il metabolismo?
2) Che intervallo di tempo consigli per la somministrazione della medicina?
3) qual'e' il valore minimo e massimo per i quali si puo' somministrare la medicina prima di incorrere all'inefficacia o alla tossicita' della medicina?
Credo che si debbano usare equazioni differenziali ma non so come fare!!!!!!!!
Gente vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto!
Un antibiotico (600mg) e' aggiunto in vena ripetutamente ad intervalli per curare un paziente. La medicina non ha effetto se la sua concentrazione nel sangue e' minore di 0.0001 mg/ml ed e' tossica se la concentrazione supera 0.055 mg/ml. Bisogna determinare come si comporta la concentrazione della medicina nel sangue in funzione del tempo e determinare il miglior intervallo di tempo tra le iniezioni. La medicina e' costosa. Sono fornite le seguenti ipotesi iniziali:
a) il paziente ha un volume fluido di 12 Litri (quindi dai miei calcoli ha un volume di plasma pari a 4 Litri)
b)una certa parte della medicina e' eliminata dal copro attraverso i reni
c)una certa parte della medicina e' eliminata dal copro attraverso il metabolismo
d) 4 ore dopo l'iniezione iniziale, la concentrazione della medicina nel sangue e' 0.0005 mg/ml
d) 4 ore dopo l'iniezione iniziale, la concentrazione della medicina nel sangue e' 0.002 mg/ml
Altre informazioni da trovare:
1) in che quantita' l'antibioitco e' rimosso dal sistema attraverso i reni e il metabolismo?
2) Che intervallo di tempo consigli per la somministrazione della medicina?
3) qual'e' il valore minimo e massimo per i quali si puo' somministrare la medicina prima di incorrere all'inefficacia o alla tossicita' della medicina?
Credo che si debbano usare equazioni differenziali ma non so come fare!!!!!!!!
Gente vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto!
Risposte
caro viki
scusandomi per il ritardo vedo se posso darti una mano. Innanzi tutto occorre stabilire la legge che governa la concentrazione di antibiotico nel sangue, per determinare la quale possiamo ipotizzare che la quantità smaltita dall’organismo nell’unità di tempo attraverso vari meccanismi [reni, metabolismo, etc…] sia proporzionale alla quantità di antibiotico presente nell’organismo stesso, ossia valga l’equazione differenziale…
c’(t) = -a*c(t) [1]
… ove con c(t) abbiamo indicato la concentrazione di antibiotico nel sangue [funzione del tempo] e con a una costante che dovrà essere determinata dai dati sperimentali disponibili. La [1] ammette una soluzione generale data da…
c(t)= co * e^(-a*t) [2]
… dove co è una costante arbitraria che si determina imponendo le cosiddette ‘condizioni iniziali’. Se ipotizziamo che co sia la concentrazione nel sangue in seguito ad una sola iniezione di antibiotico effettuata nell’istante t=0 allora la concentrazione di antibiotico vale la [2] per t>0 e vale 0 per t<0.
Per determinare il valore di a occorre far ricorso ai dati da te forniti, dati che però sono riportati in maniera non del tutto chiara. Nei punto d) infatti dai dopo quattro ore da una iniezione di antibiotico due diversi valori di concentrazione [0.0005 e 0.002 mg/ml] e non specifichi la concentrazione iniziale. Se, come potrebbe essere, il primo valore è la concentrazione dopo 4 ore e il secondo valore è la concentrazione subito dopo l’iniezione , per determinare la costante a basta risolvere la semplice equazione…
e^(-4*a)= .25 [3]
… che fornisce a=.34657…
Ora il problema consiste, se ho ben inteso, nel determinare la quantità di antibiotico co da somministrare al paziente ogni T ore in modo che la concentrazione stia, con ragionevole margine ovviamente, entro i due valori da te forniti [.0001 e .055 mg/ml]. Se ipotizziamo una iniezione di antibiotico in quantità co ogni T ore l’andamento temporale di c(t) è dato da…
c(t) = co* Sum [0<=n<00] e^- [a*(t-n*T)] [4]
E’ possibile dimostrare che il valore di tale funzione per t>0 è sempre compreso tra due limiti che sono…
c(t) < co* Sum [0<=n<00] e^-(n*a*T) = co/(1-e^-a*T) e c(t)> co* e^-a*T [5]
A questo punto dovresti essere in grado di stabilire la ‘cura ottimale’ [anche magari dal punto di vista economico, visto che tale farmaco è costosetto…] per il nostro paziente… se dovesse servire qualche altra informazione sarò ben lieto…
cordiali saluti!…
lupo grigio
scusandomi per il ritardo vedo se posso darti una mano. Innanzi tutto occorre stabilire la legge che governa la concentrazione di antibiotico nel sangue, per determinare la quale possiamo ipotizzare che la quantità smaltita dall’organismo nell’unità di tempo attraverso vari meccanismi [reni, metabolismo, etc…] sia proporzionale alla quantità di antibiotico presente nell’organismo stesso, ossia valga l’equazione differenziale…
c’(t) = -a*c(t) [1]
… ove con c(t) abbiamo indicato la concentrazione di antibiotico nel sangue [funzione del tempo] e con a una costante che dovrà essere determinata dai dati sperimentali disponibili. La [1] ammette una soluzione generale data da…
c(t)= co * e^(-a*t) [2]
… dove co è una costante arbitraria che si determina imponendo le cosiddette ‘condizioni iniziali’. Se ipotizziamo che co sia la concentrazione nel sangue in seguito ad una sola iniezione di antibiotico effettuata nell’istante t=0 allora la concentrazione di antibiotico vale la [2] per t>0 e vale 0 per t<0.
Per determinare il valore di a occorre far ricorso ai dati da te forniti, dati che però sono riportati in maniera non del tutto chiara. Nei punto d) infatti dai dopo quattro ore da una iniezione di antibiotico due diversi valori di concentrazione [0.0005 e 0.002 mg/ml] e non specifichi la concentrazione iniziale. Se, come potrebbe essere, il primo valore è la concentrazione dopo 4 ore e il secondo valore è la concentrazione subito dopo l’iniezione , per determinare la costante a basta risolvere la semplice equazione…
e^(-4*a)= .25 [3]
… che fornisce a=.34657…
Ora il problema consiste, se ho ben inteso, nel determinare la quantità di antibiotico co da somministrare al paziente ogni T ore in modo che la concentrazione stia, con ragionevole margine ovviamente, entro i due valori da te forniti [.0001 e .055 mg/ml]. Se ipotizziamo una iniezione di antibiotico in quantità co ogni T ore l’andamento temporale di c(t) è dato da…
c(t) = co* Sum [0<=n<00] e^- [a*(t-n*T)] [4]
E’ possibile dimostrare che il valore di tale funzione per t>0 è sempre compreso tra due limiti che sono…
c(t) < co* Sum [0<=n<00] e^-(n*a*T) = co/(1-e^-a*T) e c(t)> co* e^-a*T [5]
A questo punto dovresti essere in grado di stabilire la ‘cura ottimale’ [anche magari dal punto di vista economico, visto che tale farmaco è costosetto…] per il nostro paziente… se dovesse servire qualche altra informazione sarò ben lieto…
cordiali saluti!…
lupo grigio
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