Problema funzione più calcolo area

[simone94sr]

avrei bisogno di un aiuto per risolvere tale problema:

Rappresenta graficamente la funzione $y=sqrt(x/(4-x))$ e determina l'area della regione finita di piano compresa tra la curva, l'asse x e la retta tangente alla curva nel suo punto di flesso.

ho rappresentato la curva, calcolato l'integrale indefinito, ma non riesco a calcolare l'area ed individuare gli estremi di integrazione. Un aiuto solo per questo.
l'integrale vi è venuto così: $4arcsen(sqrtx)/2- 2sqrtxsqrt(1-x/4)

[Giuly191]

Mi sembra strano che sia quella la primitiva, secondo me la sostituzione andava fatta con qualche funzione iperbolica.

[simone94sr]

il libro stesso mi suggerisce di fare la sosituzione $x=4sen^2t$

[Giuly191]

Sbaglio o prima a denominatore c'era scritto $ x - 4$ ??:D Ora sì che è giusta la sostituzione! Comunque per controllare se la primitiva è quella usa wolfram.
Per gli estremi trova il punto di flesso e sei a posto no?

[simone94sr]

ho provato a fare l'integrale definito da 0 a 2 (fatto anche con il programma da voi consigliato): a me viene $pi-2$ invece il libro mi da come risultato $(15sqrt3-8pi)/12$. ora non so se è sbagliato il libro o considero male gli estremi di integrazione. 2 è l'ascissa del punto di flesso. grazie.

[Giuly191]

Ho fatto un paio di controlli e ho notato che prima di tutto il punto di flesso non è in x=2, ma in x=1, dove la funzione vale $1/sqrt(3)$.
Il problema non è quello di fissare gli estremi di integrazione, ma è quello di capire cosa integrare.
In x=1 c'è un flesso ascendente, quindi prima di quel punto la curva sta sotto la tangente e dopo sopra. Per cui dovrai integrare la curva da 0 a 1 e la retta da 1 a 2!
Capito?

[simone94sr]

non ho capito solo la questione di integrare la retta da 1 a 2

[Giuly191]

l'area della regione finita di piano compresa tra la curva, l'asse x e la retta tangente alla curva nel suo punto di flesso.

Oltre il punto di flesso, essendo ascendente, la funzione è sempre maggiore della retta tangente, quindi l'area che ti interessa è compresa tra la retta è l'asse x. Comunque in realtà detto così non chiarissimo, ma penso dia per scontato che tu ti debba fermare all'insieme di definizione della funzione, quindi prova a porre come limitazione anche la retta $x=4$ e vedi se ti torna il risultato.Non avuto tempo di controllare!

[simone94sr]

quindi io in definitiva dovrei fare l'integrale da 0 a 1 della curva e sommarlo all'integrale della retta da 0 a 4? perchè io ho fatto così ma non mi viene.

[simone94sr]

"asintoto":quindi io in definitiva dovrei fare l'integrale da 0 a 1 della curva e sommarlo all'integrale della retta da 0 a 4? perchè io ho fatto così ma non mi viene.

il secondo integrale va da 1 a 4 ho sbagliato a scrivere può venire il risultato indicato dal libro?

[Giuly191]

Ne ho provate un po' ma sinceramente ora come ora non torna nemmeno a me! Sei sicuro che nel testo c'è scritto asse x e non asse y? perchè noto che il risultato è un numero molto piccolo, e mi sembra strano che sia l'area che stavo cercando di farti trovare!