Problema funzione integrale (esame)

[pizzi]

oggi nel mio scritto d'esame c'era questo quesito:
sia $g(t)$ continua e strettamente positiva in $RR$
$ G(x)=int_(1)^(x^3) g(t) dt $
allora è sempre vera:
a) G è strettamente crescente
b) G ha minimo per $x=0$
c) G ha minimo per $x=1$
d) $ lim_(x -> oo) G(x) = + oo $
voi che dite?? guardandolo ora mi tenta la a...
ma oggi pomeriggio mi sono scritto la derivata
$G'(x)=g(x^3)3x^2-g(1)$ (che mi ha insegnato Camillo nel suo thread! grazie!! )
e nello stato mentale dell'esame ho segnato la risposta c...dico così perché ora non saprei ridire quali pensieri mi abbiano portato a quella risposta...
se potete mettere ordine anche in questo mio dubbio...grazie mille!!

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an dimenticavo...ho scritto anche l'altra derivata (perchè ho spezzato l'integrale per $x<1$ e $x>1$) che è
$G'(x)=g(1)-g(x^3)3x^2$ e per questo ho messo la c...
però... ci voleva il meno quando inverto gli estremi di integrazione..mi sono fregato!...ah non ci capisco più niente!! scusatemi!

[Steven11]

Senza bisogno di scrivere la derivata, puoi vedere facilmente che a sinistra di [tex]$1$[/tex] c'è qualche problema, se hai messo che la funzione ha minimo in $1$.
Giustamente quella è l'espressione di un' area, ma devi ricordare anche in che verso la stai calcolando, cioè se integri ad esempio da $-2$ a $1$ o da $1$ a $-2$. Saprai certamente che cambia il segno.

Quindi per il tuo caso basta prendere un controesempio: la funzione costante [tex]$g(t)=1$[/tex], che è positiva sempre, continua, derivabile e quello che vuoi.
Risulta
[tex]$G(x)=\int_{1}^{x^3}1 \text{d}t =[t]_{1}^{x^3}=x^3-1$[/tex] (ho calcolato la primitiva e l'ho valutata agli estremi di integrazione.

Quindi
[tex]$G(x)=x^3-1$[/tex]
e vedi bene che la funzione non ha assolutamente minimo in $1$ (tantomeno in 0, tantomeno in ogni altro punto), bensì è strettamente crescente.
La risposta giusta è, purtroppo, la A.

Ciao!

[pizzi]

grazie per la risposta! dovrebbero darmi almeno mezzo punto in più dai!! l'ho capita anche se un po tardi..uff!