Problema Flusso del Rotore attraverso un Cubo

[geo696]

ciao a tutti ! ho un piccolo problema:
dovrei determinare il flusso del rotore del campo $F(x,y,z)=(xyz,xy,x^2yz)$ attraverso la superficie composta dalla base superiore e dai 4 lati ( ma non dalla base inferiore) del cubo di vertici $(\pm1,\pm1,\pm1)$ con la normale orientata verso l'alto.

ora io ho pensato...uso il teorema di Stokes,calcolo il Rotore ma poi mi blocco,cioè mi servirebbe il supporto della superficie oppure dovrei scrivere il cubo come una superficie parametrica.
qualcuno di voi ha qualche idea ?

grazie

[orazioster]

Sì: ti basta considerare la
circuitazione di $F$ sul quadrato di vertci $(+-1,+-1,-1)$ - ti vien
semplice lungo quei segmenti di retta

[geo696]

intanto grazie però non riesco a capire che vettori mettere nella matrice cavolo...

[orazioster]

(?) (quale matrice?).

Devi integrare il prodotto scalare di F con il vettore tangente sui quattro lati
(in effetti $f$ scalare il versore tangente in $"d"s$, parametro arco -però
uguale al modulo del vettore tangente moltiplicato $"d"t$, t è
il parametro; per cui...) date
delle paarametrizzazioni.

Per dire : sul lato tra $(1,-1,-1)$ e $(1,1,-1)$;
parametrizzi semplicemente come:
$x=1$,
$y=t$,
$z=-1$,$t\in[-1,1]$.

$F=(-t,t,-t)$, $\vec\tau=(0,1,0)$, $\vec\tau$ è il vettore tangente.

Integri tra -1 ed 1 $t"d"t$, ed hai perciò $0$ (!)

-procedi similmente per gli altri lati.