Problema dominio integrale doppio
Ciao ragazzi, mi aiutate a disegnare questo dominio
$ T={ (x,y)\in RR^2: x<=y<=2x,2\pi<=xy<=3\pi,x>=0 } $
Io quello che ho capito è:
- $ x>=0 $, quindi siamo nel semiasse positivo delle x,
- $ x<=y<=2x $ , quindi l'insieme è delimitato tra le due rette di equazioni $ y=x $ e $ y=2x $.
Non riesco ad interpretare l'altra condizione del dominio, mi aiutate ?
$ T={ (x,y)\in RR^2: x<=y<=2x,2\pi<=xy<=3\pi,x>=0 } $
Io quello che ho capito è:
- $ x>=0 $, quindi siamo nel semiasse positivo delle x,
- $ x<=y<=2x $ , quindi l'insieme è delimitato tra le due rette di equazioni $ y=x $ e $ y=2x $.
Non riesco ad interpretare l'altra condizione del dominio, mi aiutate ?
Risposte
"angelointi94":
Ciao ragazzi, mi aiutate a disegnare questo dominio
$ T={ (x,y)\in RR^2: x<=y<=2x,2\pi<=xy<=3\pi,x>=0 } $
Io quello che ho capito è:
- $ x>=0 $, quindi siamo nel semiasse positivo delle x,
- $ x<=y<=2x $ , quindi l'insieme è delimitato tra le due rette di equazioni $ y=x $ e $ y=2x $.
Non riesco ad interpretare l'altra condizione del dominio, mi aiutate ?
Semipiano.
La funzione $xy=k$ ha come grafico un'iperbole equilatera.
una curiosità.. ma questo dominio è solo da disegnare oppure è da integrare?
da qui $ x\leq y \leq 2x $ si ha $ 1\leq y/x\leq 2 $
perché se è da integrare pensavo ad una sostituzione di questo tipo $ { ( t=y/x ),( u=xy ):} $
e calcolarsi lo Jacobiano $ [det( ( \partial_(x) t , \partial_(y)t ),( \partial_(x)u , \partial_(y)u ) ) ]^(-1) $
da qui $ x\leq y \leq 2x $ si ha $ 1\leq y/x\leq 2 $
perché se è da integrare pensavo ad una sostituzione di questo tipo $ { ( t=y/x ),( u=xy ):} $
e calcolarsi lo Jacobiano $ [det( ( \partial_(x) t , \partial_(y)t ),( \partial_(x)u , \partial_(y)u ) ) ]^(-1) $
Perdonatemi ma non ho avuto tempo per scrivere 
Devo integrare questa funzione qui nel dominio che ho scritto sopra
$ f(x,y)= xy ln(x) dx dy $
"21zuclo":
una curiosità.. ma questo dominio è solo da disegnare oppure è da integrare?
da qui $ x\leq y \leq 2x $ si ha $ 1\leq y/x\leq 2 $
perché se è da integrare pensavo ad una sostituzione di questo tipo $ { ( t=y/x ),( u=xy ):} $
e calcolarsi lo Jacobiano $ [det( ( \partial_(x) t , \partial_(y)t ),( \partial_(x)u , \partial_(y)u ) ) ]^(-1) $
Devo integrare questa funzione qui nel dominio che ho scritto sopra
$ f(x,y)= xy ln(x) dx dy $
"ciampax":
[quote="angelointi94"]Ciao ragazzi, mi aiutate a disegnare questo dominio
$ T={ (x,y)\in RR^2: x<=y<=2x,2\pi<=xy<=3\pi,x>=0 } $
Io quello che ho capito è:
- $ x>=0 $, quindi siamo nel semiasse positivo delle x,
- $ x<=y<=2x $ , quindi l'insieme è delimitato tra le due rette di equazioni $ y=x $ e $ y=2x $.
Non riesco ad interpretare l'altra condizione del dominio, mi aiutate ?
Semipiano.
La funzione $xy=k$ ha come grafico un'iperbole equilatera.[/quote]
Quindi come lo riscrivo il dominio ?
Qualcuno che mi chiarisce un po' più le idee ?
allora inizia a disegnare il dominio...
$ { ( x>=0 ),( y>=x ),( y<=2x ),( y<=3pi/x ),( y>=2pi/x ):} $
esce un quadrangoloide nel I quadrante....difficilissimo da definire come estremi di integrazione. Quindi -> occorre operare un cambiamento di variabili, come ti ha già detto 21 zuclo, il quale ha capito il problema prima ancora che tu scrivessi di dover anche integrare qualche cosa (e non solo disegnare un dominio come hai scritto nel 3D); a questo punto la strada per il problema è spianata....
ti riassumo quanto già indicatoti:
la condizione $x<=y<=2x$ che graficamente è l'area compresa fra le due semirette nel primo quadrante se cambi la variabile in $u=y/x$ sarà $1<=y/x<=2$.
A costo di risultare pleonastico, ti faccio notare che l'altra sostituzione è, sempre come ha indicato 21zuclo, $v=xy$
così il dominio è diventato un rettangolo...facilissimo da esprimere come estremi di integrazione. non ti rimane che effettuare il cambiamento di variabili, calcolare lo jacobiano e risolvere l'integrale risultante...
...buon lavoro
$ { ( x>=0 ),( y>=x ),( y<=2x ),( y<=3pi/x ),( y>=2pi/x ):} $
esce un quadrangoloide nel I quadrante....difficilissimo da definire come estremi di integrazione. Quindi -> occorre operare un cambiamento di variabili, come ti ha già detto 21 zuclo, il quale ha capito il problema prima ancora che tu scrivessi di dover anche integrare qualche cosa (e non solo disegnare un dominio come hai scritto nel 3D); a questo punto la strada per il problema è spianata....
ti riassumo quanto già indicatoti:
la condizione $x<=y<=2x$ che graficamente è l'area compresa fra le due semirette nel primo quadrante se cambi la variabile in $u=y/x$ sarà $1<=y/x<=2$.
A costo di risultare pleonastico, ti faccio notare che l'altra sostituzione è, sempre come ha indicato 21zuclo, $v=xy$
così il dominio è diventato un rettangolo...facilissimo da esprimere come estremi di integrazione. non ti rimane che effettuare il cambiamento di variabili, calcolare lo jacobiano e risolvere l'integrale risultante...
...buon lavoro
"tommik":
allora inizia a disegnare il dominio...
$ { ( x>=0 ),( y>=x ),( y<=2x ),( y<=3pi/x ),( y>=2pi/x ):} $
esce un quadrangoloide nel I quadrante....difficilissimo da definire come estremi di integrazione. Quindi -> occorre operare un cambiamento di variabili, come ti ha già detto 21 zuclo, il quale ha capito il problema prima ancora che tu scrivessi di dover anche integrare qualche cosa (e non solo disegnare un dominio come hai scritto nel 3D); a questo punto la strada per il problema è spianata....
ti riassumo quanto già indicatoti:
la condizione $x<=y<=2x$ che graficamente è l'area compresa fra le due semirette nel primo quadrante se cambi la variabile in $u=y/x$ sarà $1<=y/x<=2$.
A costo di risultare pleonastico, ti faccio notare che l'altra sostituzione è, sempre come ha indicato 21zuclo, $v=xy$
così il dominio è diventato un rettangolo...facilissimo da esprimere come estremi di integrazione. non ti rimane che effettuare il cambiamento di variabili, calcolare lo jacobiano e risolvere l'integrale risultante...
...buon lavoro
Tutto perfetto, solo che ora devo fare il cambiamento di variabili nella funzione, non riesco a ricavare la x e la y in funzione di u e v, perché mi compare sempre la x o la y
Come faccio ?
E' possibile che mi vengano fuori queste due relazioni ?
${(x=sqrt(v/u)),(y=sqrt(vu)):} $
il problema è che con il mio cambio di variabili..
$ { ( u=y/x ),( v=xy ):} $
$ [det( ( \partial_x u , \partial_y u ),( \partial_x v , \partial_y v ) ) ]^(-1)=[det( ( -(y)/(x^2) , 1/x ),( y , x ) ) ]^(-1) =[-y/x-y/x]^(-1)=-1/2 x/y$
e non riesco più a trovarmi.. perché avrei dei integrali da fare nella variabile u e v.. ma ora mi trovo jacobiano in x e y..
c'è qualcosa che non quadra..
$ { ( u=y/x ),( v=xy ):} $
$ [det( ( \partial_x u , \partial_y u ),( \partial_x v , \partial_y v ) ) ]^(-1)=[det( ( -(y)/(x^2) , 1/x ),( y , x ) ) ]^(-1) =[-y/x-y/x]^(-1)=-1/2 x/y$
e non riesco più a trovarmi.. perché avrei dei integrali da fare nella variabile u e v.. ma ora mi trovo jacobiano in x e y..
c'è qualcosa che non quadra..
"21zuclo":
il problema è che con il mio cambio di variabili..
$ { ( u=y/x ),( v=xy ):} $
$ [det( ( \partial_x u , \partial_y u ),( \partial_x v , \partial_y v ) ) ]^(-1)=[det( ( -(y)/(x^2) , 1/x ),( y , x ) ) ]^(-1) =[-y/x-y/x]^(-1)=-1/2 x/y$
e non riesco più a trovarmi.. perché avrei dei integrali da fare nella variabile u e v.. ma ora mi trovo jacobiano in x e y..
c'è qualcosa che non quadra..
Esatto
non ho fatto i conti perché sto facendo i bagagli...ma mi pare giusto...ora potete sostituire x e y nello jacobiano con le rispettive u e v trovando $detJ=-1/(2u)$
(ammesso che lo jacobiano che avete calcolato sia giusto)
(ammesso che lo jacobiano che avete calcolato sia giusto)
"tommik":
non ho fatto i conti perché sto facendo i bagagli...ma mi pare giusto...ora potete sostituire x e y nello jacobiano con le rispettive u e v trovando $J=-1/(2u)$
(ammesso che lo jacobiano che avete calcolato sia giusto)
"angelointi94":
E' possibile che mi vengano fuori queste due relazioni ?
${(x=sqrt(v/u)),(y=sqrt(vu)):} $
Curiosità..come hai fatto a tirare fuori $x$ e $y$ ?.. da ovviamente le 2 condizioni che ho imposto..
"21zuclo":
Curiosità..come hai fatto a tirare fuori $x$ e $y$ ?.. da ovviamente le 2 condizioni che ho imposto..
risolvendo il sistema di equazioni
${ ( u=y/x ),( v=xy ):}$
${ ( y=xu ),(y=v/x ):}$
${ ( x^2=v/u ),():}$
${ ( x=sqrt(v/u) ),():}$
ecc
controllate ciò che vi scrivo perché non sono cose che faccio spesso e vado un po' a mente....
sembra tutto corretto!.. 
Bene! Ricordatevi che detJ va messo in valore assoluto
"tommik":
Bene! Ricordatevi che detJ va messo in valore assoluto
questo io non me lo scordo mai!.. almeno io.. poi ci sono molti in università che lo sbagliano..
Quindi il valore da mettere del $Det J$ sarà $ 1/(2u) $ giusto ?
Andando a fare il cambio di variabili nella funzione, mi viene così a me $ f(u,v)=v ln (sqrt(v/u)) $ , è corretta ?
Andando a fare il cambio di variabili nella funzione, mi viene così a me $ f(u,v)=v ln (sqrt(v/u)) $ , è corretta ?
Sono un po' scombinato dal volo...ma secondo me non hai messo lo jacobiano....non vedo il /2u
"tommik":
Sono un po' scombinato dal volo...ma secondo me non hai messo lo jacobiano....non vedo il /2u
L'ho inserito subito dopo, quando ho iniziato a fare l'integrale
questa è solamente la funzione dopo il cambio di variabile.L'integrale l'ho svolto, però purtroppo al solito non posso vedere se il risultato è giusto
Ma una domanda, ma perché il $DetJ$ è elevato a $-1$ !? Non sto riuscendo a capire questa cosa, potreste spiegarmelo ?
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