Problema disequazione in una funzione
In una funzione per studiare il segno devo risolvere:
[tex]x^3-x-1>0[/tex]
Ma....non sto riuscendo....ho provato con Ruffini ma non trovo niente...come si può procedere in modo diverso?
Potrebbe essere verificata per [tex]x>0[/tex] ?
[tex]x^3-x-1>0[/tex]
Ma....non sto riuscendo....ho provato con Ruffini ma non trovo niente...come si può procedere in modo diverso?
Potrebbe essere verificata per [tex]x>0[/tex] ?
Risposte
Io porterei l'1 a secondo membro e poi metterei a fattore comune la x....
è uno dei casi in cui si ricorre a metodi iterativi o grafici, ma dopo aver capito qualcosa di più sull'andamento della funzione, in modo da poter applicare qualche teorema sulle funzioni continue.
insomma, prova a vedere se hai capito quanto ci siamo detti nell'altro topic.
insomma, prova a vedere se hai capito quanto ci siamo detti nell'altro topic.
Scusate il ritardo.
Ho pensato di fare come dice Samy.
cioè avrei [tex]x(x^2-1)>1[/tex]
Se l'ho studiata bene...mi risulta verificata per [tex]-\sqrt{2}\sqrt{2}[/tex]
Non so......comunque lo studio del segno che dovevo fare prende a sistema:
[tex]x>0[/tex], [tex]x>-1 oppure x>0[/tex] e poi l'ultimo risultato.
In definitiva mi risulta positiva per [tex]-\sqrt{2}\sqrt{2}[/tex]...... 
A scusate....penso sia doveroso dirvi che la funzione di cui studio il segno è questa:
[tex]x-\sqrt{\frac{x+1}{x}}[/tex]
Il dominio dovrebbe essere :
[tex]]-\infty,-1]U]0,+\infty[[/tex]
Ho pensato di fare come dice Samy.
cioè avrei [tex]x(x^2-1)>1[/tex]
Se l'ho studiata bene...mi risulta verificata per [tex]-\sqrt{2}
Non so......comunque lo studio del segno che dovevo fare prende a sistema:
[tex]x>0[/tex], [tex]x>-1 oppure x>0[/tex] e poi l'ultimo risultato.
In definitiva mi risulta positiva per [tex]-\sqrt{2}
A scusate....penso sia doveroso dirvi che la funzione di cui studio il segno è questa:
[tex]x-\sqrt{\frac{x+1}{x}}[/tex]
Il dominio dovrebbe essere :
[tex]]-\infty,-1]U]0,+\infty[[/tex]
per convincerti che i calcoli sono sbagliati, basta sostituire $-1$ oppure $+1,4$ alla $x$ ...
come ti dicevo precedentemente, non esiste un analogo della legge di annullamento del prodotto se sostituisci lo zero con 1 o altri valori ...
come ti dicevo precedentemente, non esiste un analogo della legge di annullamento del prodotto se sostituisci lo zero con 1 o altri valori ...
Mh.....annaggia...
Ma...procedendo studiando graficamente la funzione...io avrei:
[tex]x^3-x-1>0[/tex] devo cosiderare e studiare separatamente?
[tex]x^3>0[/tex]
[tex]-x-1>0[/tex]
La prima è positiva per [tex]x>0[/tex] l'altra per [tex]x<-1[/tex]
Si deve fare così?
Ma...procedendo studiando graficamente la funzione...io avrei:
[tex]x^3-x-1>0[/tex] devo cosiderare e studiare separatamente?
[tex]x^3>0[/tex]
[tex]-x-1>0[/tex]
La prima è positiva per [tex]x>0[/tex] l'altra per [tex]x<-1[/tex]
Si deve fare così?
graficamente poteva andare bene anche l'impostazione di prima, oppure, come ora, $x^3>x+1$, però poi devi pensare al confronto dei due grafici, non alle disequazioni rispetto allo "zero" ...
invece, ricorrendo alla derivata, scopriresti che la funzione $y=x^3-x-1$ è crescente in $(-oo, -sqrt3/3)$, decrescente in $(-sqrt3/3, sqrt3/3)$ e crescente di nuovo in $(sqrt3/3, +oo)$.
poi potresti anche limitarti al dominio della tua funzione originaria (che è corretto) e notare che il trinomio è negativo sia in $x=-1$ sia in $x=0$ sia in $x=sqrt3/3$, mentre tende a $+oo$ per $x-> +oo$, dunque la soluzione della disequazione, limitatamente al "dominio", è $x>x_0$ con $x_0>sqrt3/3$, e $x_0$ lo si può trovare in maniera approssimata con un metodo iterativo.
invece, ricorrendo alla derivata, scopriresti che la funzione $y=x^3-x-1$ è crescente in $(-oo, -sqrt3/3)$, decrescente in $(-sqrt3/3, sqrt3/3)$ e crescente di nuovo in $(sqrt3/3, +oo)$.
poi potresti anche limitarti al dominio della tua funzione originaria (che è corretto) e notare che il trinomio è negativo sia in $x=-1$ sia in $x=0$ sia in $x=sqrt3/3$, mentre tende a $+oo$ per $x-> +oo$, dunque la soluzione della disequazione, limitatamente al "dominio", è $x>x_0$ con $x_0>sqrt3/3$, e $x_0$ lo si può trovare in maniera approssimata con un metodo iterativo.
Mh....ci sono più o meno, ma quando dici relativamente al dominio della funzione intendi quella di partenza?
Perchè x0 deve essere maggiore proprio di [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] ?
Perchè rispetto a [tex]x=-1[/tex] [tex]x=0[/tex] dove si annulla il trinomio è il valore più grande?
Quando dici di trovarlo in maniera iterativa....significa ripetendo il ragionamento....ma....non riesco a capire come..
Perchè x0 deve essere maggiore proprio di [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] ?
Perchè rispetto a [tex]x=-1[/tex] [tex]x=0[/tex] dove si annulla il trinomio è il valore più grande?
Quando dici di trovarlo in maniera iterativa....significa ripetendo il ragionamento....ma....non riesco a capire come..
sì, mi riferivo al dominio di partenza.
se la funzione (la nuova, questo trinomio) è
crescente, in base al segno della derivata $y'=3x^2-1$ nel primo intervallo del dominio ($(-oo,-1)$), e nell'estremo superiore di questo intervallo (-1) è negativa, vuol dire che era negativa anche prima perché crescente significa che all'aumentare della x aumenta pure la y: nei valori della x precedenti -1 la y aveva valori minori rispetto a quello che assume in -1, dunque negativi.
tra $x=0$ e $x=sqrt3/3$ è decrescente e varia passando da un valore negativo ad un altro valore negativo.
in $(sqrt3/3, +oo)$ invece è crescente e passa da un valore negativo a $+oo$: essendo continua assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e l'estremo superiore in quell'intervallo, dunque anche lo "zero", però è crescente, dunque è positiva dal punto in cui assume valore zero a +infinito.
è chiaro?
se la funzione (la nuova, questo trinomio) è
crescente, in base al segno della derivata $y'=3x^2-1$ nel primo intervallo del dominio ($(-oo,-1)$), e nell'estremo superiore di questo intervallo (-1) è negativa, vuol dire che era negativa anche prima perché crescente significa che all'aumentare della x aumenta pure la y: nei valori della x precedenti -1 la y aveva valori minori rispetto a quello che assume in -1, dunque negativi.
tra $x=0$ e $x=sqrt3/3$ è decrescente e varia passando da un valore negativo ad un altro valore negativo.
in $(sqrt3/3, +oo)$ invece è crescente e passa da un valore negativo a $+oo$: essendo continua assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e l'estremo superiore in quell'intervallo, dunque anche lo "zero", però è crescente, dunque è positiva dal punto in cui assume valore zero a +infinito.
è chiaro?
Credo di avere capito, dici che la mia funzione assume un andamento simile a questo(la funzione che abbiamo derivato)
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG
Quindi praticamente devo trovare il valore (x0) per cui tendendo a più infinito la funzione assume valore [tex]y=0[/tex]
E saprò per quale x>x0 la funzione è positiva......
Ho pensato per trovarlo che dovessi fare il limite a più infinito ma ovviamente fa infinito e non può essere....
Cioè dovrei trovare dove [tex]y=x^3-x-1[/tex] si annulla? cioè dove [tex]y=0[/tex] ?
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG
Quindi praticamente devo trovare il valore (x0) per cui tendendo a più infinito la funzione assume valore [tex]y=0[/tex]
E saprò per quale x>x0 la funzione è positiva......
Ho pensato per trovarlo che dovessi fare il limite a più infinito ma ovviamente fa infinito e non può essere....
Cioè dovrei trovare dove [tex]y=x^3-x-1[/tex] si annulla? cioè dove [tex]y=0[/tex] ?
a parte la terminologia, direi che va bene.
devi usare il teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue (Bolzano?) e restringere l'intervallo.
il famoso x0 è:
in [1,2],
in [1.3,1.4]
in [1.32,1.33]
in [1.324,1.325]
....
se non ho sbagliato i conti.
devi usare il teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue (Bolzano?) e restringere l'intervallo.
il famoso x0 è:
in [1,2],
in [1.3,1.4]
in [1.32,1.33]
in [1.324,1.325]
....
se non ho sbagliato i conti.
Non ci avrei mai pensato....bè...io l'ho visto solo ma mai utilizzato....però....cioè....come faccio a trovarlo esattamente?
Per il teorema dovrebbe esserci un valore se
[tex]f:(a,b)-->R[/tex]
[tex]f(a)f(b)<0[/tex] allora esiste c tale che f(c)=0.
P.S.....ma in generale al posto di scrivere nell'ipotesi [tex]f(a)f(b)<0[/tex] potrei scrivere anche che vale se [tex]f(a)<0[/tex] e [tex]f(b)>0[/tex] ?
Scusa però....non l'ho mai applicato....deve essere un valore tra [1,2].....ma...come faccio....ce ne potrebbero essere un sacco.....potrebbe essere [tex]1.5[/tex]...cioè come faccio a capirlo.....
Scusa ma...sono molto duro...come già ti sarai accorto fra ieri e oggi...
Per il teorema dovrebbe esserci un valore se
[tex]f:(a,b)-->R[/tex]
[tex]f(a)f(b)<0[/tex] allora esiste c tale che f(c)=0.
P.S.....ma in generale al posto di scrivere nell'ipotesi [tex]f(a)f(b)<0[/tex] potrei scrivere anche che vale se [tex]f(a)<0[/tex] e [tex]f(b)>0[/tex] ?
Scusa però....non l'ho mai applicato....deve essere un valore tra [1,2].....ma...come faccio....ce ne potrebbero essere un sacco.....potrebbe essere [tex]1.5[/tex]...cioè come faccio a capirlo.....
Scusa ma...sono molto duro...come già ti sarai accorto fra ieri e oggi...
nel tuo caso f(a)<0, f(b)>0 perché la funzione è crescente; sarebbe il contrario se fosse decrescente.
il fatto che ce ne sia solo uno (nell'intervallo $(sqrt3/3,+oo)$) è garantito dal fatto che la funzione è, oltre che continua, strettamente crescente, per cui è anche iniettiva, limitatamente a tale intervallo.
$AA x_1,x_2," con "x_1
una volta verificato che $f(1)<0, f(2)>0$ per cui $x_0 in (1,2)$, si restringe l'intervallo:
con il metodo di bisezione trovi che $f(1.5)>0$ per cui $x_0 in (1,1.5)$, ecc., ma non è necessario dimezzare sempre, anzi io uso di solito una variante del metodo di bisezione per fissare una cifra decimale per volta: ognuno poi, ricordando solo un paio di semplici regole, trova la sua strada preferita, l'importante è che l'intervallo nei vari passaggi diventi sempre più piccolo. esistono vari altri metodi classici oltre a quello di bisezione, di cui credo quello più famoso e il metodo delle tangenti.
riflettici su e "dormici su" anche. ciao.
il fatto che ce ne sia solo uno (nell'intervallo $(sqrt3/3,+oo)$) è garantito dal fatto che la funzione è, oltre che continua, strettamente crescente, per cui è anche iniettiva, limitatamente a tale intervallo.
$AA x_1,x_2," con "x_1
una volta verificato che $f(1)<0, f(2)>0$ per cui $x_0 in (1,2)$, si restringe l'intervallo:
con il metodo di bisezione trovi che $f(1.5)>0$ per cui $x_0 in (1,1.5)$, ecc., ma non è necessario dimezzare sempre, anzi io uso di solito una variante del metodo di bisezione per fissare una cifra decimale per volta: ognuno poi, ricordando solo un paio di semplici regole, trova la sua strada preferita, l'importante è che l'intervallo nei vari passaggi diventi sempre più piccolo. esistono vari altri metodi classici oltre a quello di bisezione, di cui credo quello più famoso e il metodo delle tangenti.
riflettici su e "dormici su" anche. ciao.
Secondo il metodo di bisezione, se non ho capito male si può procedere iterativamente finchè in un intervallo la funzione assume agli estremi valori opposti, e mi sembra che dopo il tuo esempio....se provo ad applicare il metodo a [tex][1,1.5][/tex] ottengo come valore [tex]x=1.25[/tex]
Che ho sostituito alla funzione ottenendo 0.2, quindi ripeto il ragionamento su [tex][1,0.2][/tex] ottenendo come valore dimezzto 0.6, che però sostituito alla funzione mi dà un valore negativo, quindi non posso ripetere il ragionamento.
Quindi potrei concludere che approssimativamente, il valore [tex]\frac{a+b}{2}[/tex] che mi interessa sia [tex]x=1.25[/tex] ?
E la funzione sarà positivia a partire da [tex]x>[/tex] di quel valore?
P.S....leggevo che il metodo si arresta quando si arriva ad valore vicino alla 0, quindi per questo dovrei potere scegliere [tex]x=1-25[/tex]
Che ho sostituito alla funzione ottenendo 0.2, quindi ripeto il ragionamento su [tex][1,0.2][/tex] ottenendo come valore dimezzto 0.6, che però sostituito alla funzione mi dà un valore negativo, quindi non posso ripetere il ragionamento.
Quindi potrei concludere che approssimativamente, il valore [tex]\frac{a+b}{2}[/tex] che mi interessa sia [tex]x=1.25[/tex] ?
E la funzione sarà positivia a partire da [tex]x>[/tex] di quel valore?
P.S....leggevo che il metodo si arresta quando si arriva ad valore vicino alla 0, quindi per questo dovrei potere scegliere [tex]x=1-25[/tex]
al primo (?) passaggio, cioè trovando $f(1.25)$ riesci solo a sapere se $x_0 in (a,1.25)$ oppure $x_0 in (1.25,b)$, e dovrebbe essere vera la seconda, perché io ho trovato $x_0 cong 1.325$
Io continuo ad iterare all'impazzata....
Intanto come stabilisco se l'estremo?
Dovrebbe essere [tex]1.25, b[/tex] 1.25 nella funzione dà un valore negativo, quindi lo cerco in [tex]1.25, 2[/tex]
Ma quante iterazioni fai?
Io a 0 non ci arrivo mai, ho sempre dei valori maggiori del tuo [tex]1.3...[/tex]
Intanto come stabilisco se l'estremo?
Dovrebbe essere [tex]1.25, b[/tex] 1.25 nella funzione dà un valore negativo, quindi lo cerco in [tex]1.25, 2[/tex]
Ma quante iterazioni fai?
Io a 0 non ci arrivo mai, ho sempre dei valori maggiori del tuo [tex]1.3...[/tex]
a 0 non ci puoi arrivare con un numero finito di passaggi, altrimenti il numero $x_0$ sarebbe razionale!
devi prima decidere quante cifre vuoi trovare, che precisione ti occorre, e poi parti, restringendo l'intervallo: puoi dimezzare sempre, come dice la regola, ma non è necessario, anzi è più pratico (per l'uso della calcolatrice) "restringere" l'intervallo "provando" f(c) con un $c in (a,b)$ a piacere. se f(c) ha lo stesso segno di f(a) riparti dall'intervallo (c,b) altrimenti da (a,c), e prenderai un nuovo punto d nell'intervallo opportuno per reiterare il procedimento.
io sono arrivata a dire che $x_0 in (1.32, 1.33)$, poi mi è parso che 1.325 fosse una buona approssimazione, ma f(1.325), questa volta il punto medio tra due valori che differiscono di $1/100$, mi serve per dire, se voglio fermarmi alla seconda cifra decimale, se è meglio prendere 1.32 o 1.33.
devi prima decidere quante cifre vuoi trovare, che precisione ti occorre, e poi parti, restringendo l'intervallo: puoi dimezzare sempre, come dice la regola, ma non è necessario, anzi è più pratico (per l'uso della calcolatrice) "restringere" l'intervallo "provando" f(c) con un $c in (a,b)$ a piacere. se f(c) ha lo stesso segno di f(a) riparti dall'intervallo (c,b) altrimenti da (a,c), e prenderai un nuovo punto d nell'intervallo opportuno per reiterare il procedimento.
io sono arrivata a dire che $x_0 in (1.32, 1.33)$, poi mi è parso che 1.325 fosse una buona approssimazione, ma f(1.325), questa volta il punto medio tra due valori che differiscono di $1/100$, mi serve per dire, se voglio fermarmi alla seconda cifra decimale, se è meglio prendere 1.32 o 1.33.
Tutto ciò meso all'interno di una funzione di cui dovevo studiare il segno, ma funzioni normali no eh 
Questa è cattiveria della mia insegnante, non sarà complicato, ma....in analisi non vedo perchè dovrei sapere il metodo di bisezione e sapere risolvere così quella disequazione, non abbiamo fatto questo metodo......mah...
Comunque si, sono arrivato al tuo risultato, circa 1.325
Visto che devo ancora studiare una funzione, anche se non è propriamente corretto, potrei considerare questo come punto....e soluzione dell' equazione da cui eravamo partiti, quindi la soluzione sarà [tex]x>1.325[/tex] ?
Tanto è approssimativo, per studiare la funzione, non penso caschi il mondo, anche se bisogna sempre fare le cose per bene..
Questa è cattiveria della mia insegnante, non sarà complicato, ma....in analisi non vedo perchè dovrei sapere il metodo di bisezione e sapere risolvere così quella disequazione, non abbiamo fatto questo metodo......mah...
Comunque si, sono arrivato al tuo risultato, circa 1.325
Visto che devo ancora studiare una funzione, anche se non è propriamente corretto, potrei considerare questo come punto....e soluzione dell' equazione da cui eravamo partiti, quindi la soluzione sarà [tex]x>1.325[/tex] ?
Tanto è approssimativo, per studiare la funzione, non penso caschi il mondo, anche se bisogna sempre fare le cose per bene..
sì, certamente, però a questo punto non so che cos'era questo trinomio.
tieni conto del dominio della funzione. non so come hai semplificato, ma se vai a razionalizzare hai $sqrt((x+1)/x)=sqrt(x^2+x)/|x|$.
ci sei?
perché ho visto delle altre richieste sulla stessa funzione, e mi sto chiedendo da dove venga il trinomio ....
tieni conto del dominio della funzione. non so come hai semplificato, ma se vai a razionalizzare hai $sqrt((x+1)/x)=sqrt(x^2+x)/|x|$.
ci sei?
perché ho visto delle altre richieste sulla stessa funzione, e mi sto chiedendo da dove venga il trinomio ....
Il trinomio è quello dove sostituivamo i valori no?
[tex]x^3-x-1[/tex] se ho sbagliato è perchè non la ricordo a memoria...
E quindi per ottenere [tex]y=0[/tex] deve essere x=x0 e a partire da quel punto sarà crescente.
Oltre a questa nel sistema per lo studio del segno c'erano altre funzioni, quindi devo mettere insieme gli altri risultati e avrò il segno della funzione di partenza.
Scusa la confusione che ti sto facendo non so se sono stato chiaro....spero..
[tex]x^3-x-1[/tex] se ho sbagliato è perchè non la ricordo a memoria...
E quindi per ottenere [tex]y=0[/tex] deve essere x=x0 e a partire da quel punto sarà crescente.
Oltre a questa nel sistema per lo studio del segno c'erano altre funzioni, quindi devo mettere insieme gli altri risultati e avrò il segno della funzione di partenza.
Scusa la confusione che ti sto facendo non so se sono stato chiaro....spero..
sì, sì, ci sono. infatti la funzione ($x-sqrt((x+1)/x)$) è sempre al di sotto dell'asse x per $x<= -1$, mentre se $x>0$ è al di sopra dell'asse x se e solo se è positivo il trinomio $x^3-x-1$.
nello studio di funzione spesso non è richiesto tutto questo calcolo (il valore approssimato lo si trova solo se è specificato nella richiesta), ma è importante capire che esiste una ed una sola intersezione con l'asse x e magari anche specificare che x0 è compreso tra 1 e 2: se poi dovessi ottenere un punto compreso tra 1 e 2 in cui si annulla la derivata prima o la derivata seconda, magari in quel caso è buona norma (per non dire obbligatorio) scoprire se l'intersezione con l'asse x precede o segue il punto critico ...
sulla derivata non ho seguito molto, nell'altro topic: sei a posto? a che punto sei con il resto dello studio della funzione?
nello studio di funzione spesso non è richiesto tutto questo calcolo (il valore approssimato lo si trova solo se è specificato nella richiesta), ma è importante capire che esiste una ed una sola intersezione con l'asse x e magari anche specificare che x0 è compreso tra 1 e 2: se poi dovessi ottenere un punto compreso tra 1 e 2 in cui si annulla la derivata prima o la derivata seconda, magari in quel caso è buona norma (per non dire obbligatorio) scoprire se l'intersezione con l'asse x precede o segue il punto critico ...
sulla derivata non ho seguito molto, nell'altro topic: sei a posto? a che punto sei con il resto dello studio della funzione?
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