Problema di minimizzazione con un triangolo rettangolo
Problemino di ottimizzazione (solo per modo di dire) che è anche collegato a un altro quesito che ho postato qui in precedenza.
Ci troviamo nel comune spazio euclideo, 3D. Siano $x$ e $y$ due numeri reali strettamente positivi e sia dato il triangolo rettangolo PHT (lettere a caso) con P \(\equiv (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) \), H \( \equiv (1+x, 1+x, 0) \) e T \(\equiv (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1+y) \). Sappiamo inoltre che il punto \((1,1,0) \) appartiene al cateto PH, mentre \((1,1,1) \) appartiene all'ipotenusa, TH.
Minimizzare la somma delle lunghezze di PH e TH determinando la coppia di valori \(x\) e \(y\) tali per cui
|PH+TH| sia minimo.
NOTA: Con un'osservazione abbastanza banale, si può subito capire che \( y>1 \).
Ci troviamo nel comune spazio euclideo, 3D. Siano $x$ e $y$ due numeri reali strettamente positivi e sia dato il triangolo rettangolo PHT (lettere a caso) con P \(\equiv (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) \), H \( \equiv (1+x, 1+x, 0) \) e T \(\equiv (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1+y) \). Sappiamo inoltre che il punto \((1,1,0) \) appartiene al cateto PH, mentre \((1,1,1) \) appartiene all'ipotenusa, TH.
Minimizzare la somma delle lunghezze di PH e TH determinando la coppia di valori \(x\) e \(y\) tali per cui
|PH+TH| sia minimo.
NOTA: Con un'osservazione abbastanza banale, si può subito capire che \( y>1 \).
Risposte
Perché poni il problema a noi?
Cosa vorresti sapere?
Cosa vorresti sapere?
Credevo questa fosse una sezione per porre anche quesiti random... in realtà, risolvere questo esercizio dovrebbe suggerire anche come procedere per "risolvere" (almeno parzialmente) quell'altro problema più complesso che ho postato in precedenza e che attende risposta.
P.S.
Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui
P.S.
Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui
"marcokrt":
Credevo questa fosse una sezione per porre anche quesiti random...
Ah, è un esercizio per la community?
"marcokrt":
in realtà, risolvere questo esercizio dovrebbe suggerire anche come procedere per "risolvere" (almeno parzialmente) quell'altro problema più complesso che ho postato in precedenza e che attende risposta.
Quale "altro problema"?
"marcokrt":
Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui
Non ho capito...
"gugo82":
[quote="marcokrt"]Credevo questa fosse una sezione per porre anche quesiti random...
Ah, è un esercizio per la community?[/quote]
Esatto.
"marcokrt":
in realtà, risolvere questo esercizio dovrebbe suggerire anche come procedere per "risolvere" (almeno parzialmente) quell'altro problema più complesso che ho postato in precedenza e che attende risposta.
Quale "altro problema"?
Rispondere a questa domanda, permette di risolvere anche questo problema ben più complesso che ho postato giorni fa: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=40&t=238391
"marcokrt":
Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui
Non ho capito...
Era quella vecchia discussione di una dozzina di anni fa in cui descrivevo quel "salad number" che ingenuamente avevo creato ritenendolo utile e addirittura pensando che potesse trattarsi del più grande numero definito all'epoca (come chiarito nella pagina relativa, che cristallizza la figuraccia che fu a imperitura memoria https://googology.fandom.com/wiki/BOX_M%CC%83)... pensa che oggi hanno creato un'intera classe di numeroni a partire dal mio BOX_M [url]https://fanmade-googology.fandom.com/wiki/Category:BOX_series[/url]
Ah, quelle cose lì… 
Dopo 12 anni chi se le ricordava!
Ad ogni buon conto, il problema è essenzialmente unidimensionale, poiché è forzato dalla geometria del triangolo.
I punti $H$ e $T$ che lo risolvono dovrebbero essere quelli che distano \(\sqrt[4]{2}/2\) dai due vertici del cubo lungo le semirette che vi passano ed hanno origine $P$, e la lunghezza minima dovrebbe essere \(1/2\ (1 + \sqrt[4]{2})^2\), se non ho sbagliato i conti.
Dopo 12 anni chi se le ricordava!
Ad ogni buon conto, il problema è essenzialmente unidimensionale, poiché è forzato dalla geometria del triangolo.
I punti $H$ e $T$ che lo risolvono dovrebbero essere quelli che distano \(\sqrt[4]{2}/2\) dai due vertici del cubo lungo le semirette che vi passano ed hanno origine $P$, e la lunghezza minima dovrebbe essere \(1/2\ (1 + \sqrt[4]{2})^2\), se non ho sbagliato i conti.
"gugo82":
Ah, quelle cose lì…
Dopo 12 anni chi se le ricordava!
Ad ogni buon conto, il problema è essenzialmente unidimensionale, poiché è forzato dalla geometria del triangolo.
I punti $H$ e $T$ che lo risolvono dovrebbero essere quelli che distano \(\sqrt[4]{2}/2\) dai due vertici del cubo lungo le semirette che vi passano ed hanno origine $P$, e la lunghezza minima dovrebbe essere \(1/2\ (1 + \sqrt[4]{2})^2\), se non ho sbagliato i conti.
Guardando al volo la distanza, non mi torna... numericamente parlando, la lunghezza minima della somma in questione è (approssimando) $3.8455$.
Comunque un utente di MO ha appena postato una risposta al quesito generale (quello che avevo scritto anche qui in "Pensare un po' di più"), non l'ho controllata con attenzione, ma mi sembra promettente, perché confermerebbe che quello che ritenevo essere il minimo assoluto sarebbe proprio il minimo assoluto del problema generale: https://mathoverflow.net/questions/472583/shortest-polygonal-chain-with-6-edges-visiting-all-the-vertices-of-a-cube
Allora, l'altro giorno, facendo i calcoli in fretta, ho minimizzato la somma dei cateti invece che di cateto ed ipotenusa.
Ti racconto il procedimento, coi calcoli corretti.
I tre punti $P$, $H$ e $T$ individuano un piano $pi$, nel quale possiamo istituire un sistema di coordinate con origine in $P$, asse delle ascisse $xi$ passante per $H$ ed orientato da $P$ verso $H$ ed asse delle ordinate $eta$ passante per $T$ ed orientato da $P$ verso $T$.
Nel nuovo sistema di assi cartesiani $Oxi eta$ su $pi$:
Ti racconto il procedimento, coi calcoli corretti.
I tre punti $P$, $H$ e $T$ individuano un piano $pi$, nel quale possiamo istituire un sistema di coordinate con origine in $P$, asse delle ascisse $xi$ passante per $H$ ed orientato da $P$ verso $H$ ed asse delle ordinate $eta$ passante per $T$ ed orientato da $P$ verso $T$.
Nel nuovo sistema di assi cartesiani $Oxi eta$ su $pi$:
- [*:2y74qtdu] il punto $P$ ha coordinate $(0,0)$,
[/*:m:2y74qtdu]
[*:2y74qtdu] il vertice $A=(1,1,0)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2 , 0)$,
[/*:m:2y74qtdu]
[*:2y74qtdu] il vertice $B=(1,1,1)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2, 1)$,
[/*:m:2y74qtdu]
[*:2y74qtdu] il punto $H$ ha coordinate $(xi_H,0)$ con $xi_H > sqrt(2)/2$,
[/*:m:2y74qtdu]
[*:2y74qtdu] il punto $T$ ha coordinate $(0, eta_T)$, con $eta_T > 1$.[/*:m:2y74qtdu][/list:u:2y74qtdu]
Visto che $H$, $B$ e $T$ sono allineati, essi appartengono ad una stessa retta di equazione $y-1=-m(x - sqrt(2)/2)$ (con $m>0$) ed, in particolare, ciò importa:
\[
\eta_T = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\qquad \text{e}\qquad \xi_H = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2m} = \frac{1}{m}\ \eta_T\; .
\]
Le somme delle lunghezze di $PH$ e $TH$ è:
\[
\begin{split}
f(m) &:= \xi_T + \sqrt{\xi_H^2 + \eta_T^2}\\
&= \frac{1}{m}\ \eta_T + \sqrt{\frac{1}{m^2}\ \eta_T^2 + \eta_T^2}\\
&= \eta_T \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\\
&= \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)
\end{split}
\]
ed il minimo è $~~ 3.84552$ che si ottiene per $m ~~ 1.59792$.
...
Ecco la figura in 3D da cui il problema è stato derivato... a noi interessa chiaramente solo il triangolo $PHT$:
"gugo82":
Allora, l'altro giorno, facendo i calcoli in fretta, ho minimizzato la somma dei cateti invece che di cateto ed ipotenusa.
Ti racconto il procedimento, coi calcoli corretti.
I tre punti $P$, $H$ e $T$ individuano un piano $pi$, nel quale possiamo istituire un sistema di coordinate con origine in $P$, asse delle ascisse $xi$ passante per $H$ ed orientato da $P$ verso $H$ ed asse delle ordinate $eta$ passante per $T$ ed orientato da $P$ verso $T$.
Nel nuovo sistema di assi cartesiani $Oxi eta$ su $pi$:
[*:1cfbyl35] il punto $P$ ha coordinate $(0,0)$,
[/*:m:1cfbyl35]
[*:1cfbyl35] il vertice $A=(1,1,0)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2 , 0)$,
[/*:m:1cfbyl35]
[*:1cfbyl35] il vertice $B=(1,1,1)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2, 1)$,
[/*:m:1cfbyl35]
[*:1cfbyl35] il punto $H$ ha coordinate $(xi_H,0)$ con $xi_H > sqrt(2)/2$,
[/*:m:1cfbyl35]
[*:1cfbyl35] il punto $T$ ha coordinate $(0, eta_T)$, con $eta_T > 1$.[/*:m:1cfbyl35][/list:u:1cfbyl35]
Visto che $H$, $B$ e $T$ sono allineati, essi appartengono ad una stessa retta di equazione $y-1=-m(x - sqrt(2)/2)$ (con $m>0$) ed, in particolare, ciò importa:
\[
\eta_T = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\qquad \text{e}\qquad \xi_H = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2m} = \frac{1}{m}\ \eta_T\; .
\]
Le somme delle lunghezze di $PH$ e $TH$ è:
\[
\begin{split}
f(m) &:= \xi_T + \sqrt{\xi_H^2 + \eta_T^2}\\
&= \frac{1}{m}\ \eta_T + \sqrt{\frac{1}{m^2}\ \eta_T^2 + \eta_T^2}\\
&= \eta_T \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\\
&= \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)
\end{split}
\]
ed il minimo è $~~ 3.84552$ che si ottiene per $m ~~ 1.59792$.
Perfetto, ora è corretto (e pure in rima)!
Visto che ci sono, completo la risposta includendo i passaggi finali che avrai omesso per brevità (a beneficio dei giovani che leggeranno e proveranno in proprio a svolgere l'esercizio).
Giacché abbiamo da minimizzare una funzione nella sola variabile $m$, deriviamo e poi imponiamo il risultato della derivata prima uguale a zero.
Dunque bisognerà come prima cosa calcolare $f'(m)=\frac{\partial\left(\frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\right)}{\partial m}$.
Con un po' di manipolazioni, giacché $m \in \mathbb{R}^+$ e dunque anche diverso da zero, si può infine giungere a riscrivere $f'(m)$ come $\frac{\sqrt{2} m^3 - 2 (\sqrt{m^2 + 1} + 1)}{2 m^2 \sqrt(m^2 + 1)}$ e di conseguenza $f'(m) = -\sqrt{2}m^3 + 2(m^2+1)^{\frac{1}{2}} + 2$.
Uguagliamo a zero il secondo termine, risolviamo questa equazione di terzo grado e cerchiamo il relativo punto stazionario (ignorando le soluzioni complesse coniugate che emergono), essendo ovviamente unico, reale e positivo il minimo di un problema di minimizzazione della somma di distanze (metrica euclidea). Pertanto $-\sqrt{2}m^3 + 2(m^2+1)^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ (che per $m>1$ è una funzione monotona strettamente descrescente che vale $2+\sqrt{2}$ in $m=1$ e che se ne va a $-\infty$ quando $m\rightarrow +\infty$) intersecherà l'asse delle $m$ in un solo punto con ascissa strettamente positiva, chiamiamolo $m_1$ e facciamolo calcolare a qualche sofware per evitare di finire in terapia.
Troviamo così il valore
$m_1 = 1/2 sqrt((2/3)^(2/3) (9 + sqrt(177))^(1/3) - 4 (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3)) + 1/2 sqrt(4 (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3) - (2/3)^(2/3) (9 + sqrt(177))^(1/3) + 4 sqrt(2/((2/3)^(2/3) (9 + sqrt(177))^(1/3) - 4 (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3)))) = 1.5979209335500320747647053507804655588278836 \ldots$.
Risostituendo $m_1$ in $\frac{2 + \sqrt{2}\ m_1}{2}\ \left( \frac{1}{m_1} + \sqrt{1 + \frac{1}{(m_1) ^2}}\right)$, si ottiene la lunghezza minima possibile di $\bar{PH} + \bar{HT}$, pari a $3.845518780346118374278741\ldots$.
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