Problema di Dirichlet - problema di Neumann
Buongiorno a tutti
Il mio problema riguarda la dimostrazione dell'unicità della soluzione dei problemi di Dirichlet e di Neumann una volta che siano assegnate particolari condizioni al contorno. Sto preparando Fisica 2, quindi i problemi sopra citati riguardano l'integrazione delle equazioni di Poisson e di Laplace nel caso del potenziale elettrostatico.
Mi spiego meglio: dalla seconda legge di Maxwell in forma locale, si ha che , detto \(\displaystyle \vec E \) il vettore campo elettrico nello spazio, allora \(\displaystyle div \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \) ; essendo \(\displaystyle \vec E = - \nabla V \) dove \(\displaystyle V \) è il potenziale, allora \(\displaystyle - div \nabla V = - \nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0} \) , dove l'operatore di Laplace agisce in questo modo: \(\displaystyle \nabla^2 V= \frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} \) . L'equazione di Poisson \(\displaystyle \nabla^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon_0} \) , all'esterno della distribuzione di carica (in cui cioè \(\displaystyle \rho=0 \) si riduce all'equazione di Laplace \(\displaystyle \nabla^2 V = 0 \).
Il problema di Dirichlet consiste nel trovare una soluzione dell'equazione di Laplace tale che coincida con un potenziale dato, sulla superficie \(\displaystyle \Sigma \) in posizione fissata; il problema di Neumann consiste invece nel trovare una soluzione dell'equazione di Laplace tale che la sua derivata direzionale rispetto alla normale della superficie fissata sia data.
In entrambi i casi, il mio libro afferma che, per mostrare l'unicità della soluzione, è sufficiente mostrare che la differenza tra due soluzioni è costante all'interno del conduttore, e quindi, PER CONTINUITà, lo è anche all'esterno e quindi le due soluzioni differiscono a meno di una costante, il che è ininfluente dato che stiamo calcolando un potenziale. Non riesco a capire il fatto che sia sufficiente mostrare che quella differenza è costante all'interno del conduttore! Mi potete aiutare? Grazie a tutti!
Il mio problema riguarda la dimostrazione dell'unicità della soluzione dei problemi di Dirichlet e di Neumann una volta che siano assegnate particolari condizioni al contorno. Sto preparando Fisica 2, quindi i problemi sopra citati riguardano l'integrazione delle equazioni di Poisson e di Laplace nel caso del potenziale elettrostatico.
Mi spiego meglio: dalla seconda legge di Maxwell in forma locale, si ha che , detto \(\displaystyle \vec E \) il vettore campo elettrico nello spazio, allora \(\displaystyle div \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \) ; essendo \(\displaystyle \vec E = - \nabla V \) dove \(\displaystyle V \) è il potenziale, allora \(\displaystyle - div \nabla V = - \nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0} \) , dove l'operatore di Laplace agisce in questo modo: \(\displaystyle \nabla^2 V= \frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} \) . L'equazione di Poisson \(\displaystyle \nabla^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon_0} \) , all'esterno della distribuzione di carica (in cui cioè \(\displaystyle \rho=0 \) si riduce all'equazione di Laplace \(\displaystyle \nabla^2 V = 0 \).
Il problema di Dirichlet consiste nel trovare una soluzione dell'equazione di Laplace tale che coincida con un potenziale dato, sulla superficie \(\displaystyle \Sigma \) in posizione fissata; il problema di Neumann consiste invece nel trovare una soluzione dell'equazione di Laplace tale che la sua derivata direzionale rispetto alla normale della superficie fissata sia data.
In entrambi i casi, il mio libro afferma che, per mostrare l'unicità della soluzione, è sufficiente mostrare che la differenza tra due soluzioni è costante all'interno del conduttore, e quindi, PER CONTINUITà, lo è anche all'esterno e quindi le due soluzioni differiscono a meno di una costante, il che è ininfluente dato che stiamo calcolando un potenziale. Non riesco a capire il fatto che sia sufficiente mostrare che quella differenza è costante all'interno del conduttore! Mi potete aiutare? Grazie a tutti!
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