Problema di Cauchy: valore condizione iniziale

[nicetry1]

Ho incontrato questo esercizio e non saprei come procedere nel modo corretto.
Sia \(\displaystyle s(x) \) la funzione segno e sia \(\displaystyle A \) l’insieme degli \(\displaystyle x_0 \) reali tali che il problema di Cauchy \(\displaystyle x’= s(x) \) soggetto a \(\displaystyle x(9)= x_0 \) abbia un’unica soluzione su \(\displaystyle [9,+\infty [ \).

Ho provato cercando di applicare il teorema di Cauchy locale, dato che assicura esistenza e unicità della soluzione, ma fornisce solamente delle condizioni sufficienti e non necessarie E sufficienti.

Ringrazio in anticipo chi saprà darmi una mano!!

[gugo82]

Beh, guarda cosa succede e fatti un'idea.

Hai:
\[
x^\prime (t) = \operatorname{sign} \big( x(t)\big) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x(t) > 0 \\ 0 &\text{, se } x(t) = 0 \\ -1 &\text{, se } x(t) < 0 \end{cases}
\]
e per prima cosa puoi dire che $x_**(t) = 0$ è una soluzione stazionaria per la tua EDO, l'unica in verità.
Tuttavia, dato che il secondo membro non è continuo, dovresti specificare quale regolarità pretendi di trovare sulla soluzione (che ovviamente non sarà una soluzione classica, cioè di classe almeno $C^1$...).
Da qui in poi, assumo che tu voglia cercare soluzioni almeno continue del tuo problema, cioè che $x in C^0$ in $[9, +oo[$.

La funzione $"sign"(x)$ è localmente lipschitziana rispetto ad $x$ in $Omega^+ := RR xx ]0, + oo[$ ed in $Omega_(-) := RR xx ]-oo, 0[$, quindi puoi dire che la soluzione locale del tuo P.d.C. è unica non appena tu prendi $x_0 > 0$ (in tal caso il punto iniziale $(9,x_0)$ cade in $Omega^+$) o $x_0 < 0$ (in tal caso $(9,x_0)$ cade in $Omega_(-)$).
Ora, se $x_0 > 0$, localmente intorno a $9$ la tua soluzione conserva il segno di $x_0$ (per permanenza del segno e continuità della soluzione), quindi $x^\prime (t) = 1 > 0$ intorno a $9$ e perciò la soluzione è strettamente crescente intorno a $9$. Dunque, per $t > 9$ intorno a $9$, la soluzione assume valori $x(t) > x_0 > 0$ e da ciò (per un po' di teoremi standard di prolungamento) segue che essa può prolungarsi a tutto l'intervallo $[9,+oo[$ in maniera unica.
Analogamente, se $x_0 < 0$, intorno a $9$ la tua soluzione conserva il segno di $x_0$ e perciò hai $x^\prime (t) = -1 < 0$ e perciò la soluzione è strettamente decrescente intorno a $9$. Dunque, per $t > 9$ intorno a $9$, la soluzione assume valori $x(t) < x_0 < 0$ e da ciò viene che $x(t)$ può prolungarsi a tutto $[9,+oo[$ in maniera unica.
Quindi $RR^+ uu RR_(-) sube A$.

Il problema è: cosa accade per $x_0=0$?
Chiaramente abbiamo la soluzione stazionaria $x_**(t) = 0$, quindi dobbiamo ragionare sull'unicità, poiché la lipschitzianità locale del secondo membro fallisce e non abbiamo informazioni sull'unicità.
Vediamo...

Supponiamo che localmente a destra di $9$ ci sia un'altra soluzione $x(t)$ del tuo P.d.C. e chiamiamo:
\[
b := \sup \Big\{ t > 9:\ x(t) = 0\Big\}
\]
cosicché $x(t) = 0$ per ogni $t in [9,b[$ e $x(t) = x_**(t)$ solo se $b=+oo$.
Se $x(t)$ è differente da $x_**(t)$, esiste un valore $t_1 > 9$ in modo che $x(t_1) = x_1 != 0$.
In questo caso $b$ è finito e minore di $t_1$, cosicché $x(t)$ si può prolungare su $b$ per continuità da sinistra ponendo $x(b) = 0$.
Ora, se $x_1 > 0$, per $t$ in un conveniente intorno $]alpha, beta[$ di $t_1$ disgiunto da $[9,b]$ (quindi con $alpha > b$) possiamo fare il ragionamento precedente e concludere che:
\[
\alpha < t < \beta\quad \Rightarrow \quad x^\prime (t) = 1\; ;
\]
integrando membro a membro tra $t_1$ e $t$ troviamo:
\[
\int_{t_1}^t x^\prime (\tau)\ \text{d}\tau = t - t_1\quad \Rightarrow \quad x(t) - x(t_1) = t - t_1 \quad \Rightarrow \quad x(t) = t + \underbrace{x(t_1) - t_1}_{=: C} \quad \Rightarrow \quad x(t) = t + C
\]
e, per motivi legati alla lipschitzianità locale intorno a $t_1$, questa espressione di $x(t)$ si può prolungare a tutto $]b, +oo[$. Se imponiamo la condizione di continuità in $b$ otteniamo:
\[
\lim_{t \to b^+} x(t) = 0 = x(b) \quad \Leftrightarrow \quad b + C = 0 \quad \Leftrightarrow \quad C = -b\; ,
\]
quindi:
\[
x(t) = \begin{cases} 0 &\text{, se } 9 \leq t \leq b \\ t - b &\text{, se } t \geq b \end{cases} =x^b(t)
\]
sono soluzioni del P.d.C. con $x_0=0$.
Con lo stesso ragionamento, ma fatto con $x_1 < 0$, possiamo trovare anche le soluzioni:
\[
x(t) = \begin{cases} 0 &\text{, se } 9 \leq t \leq b \\ b - t &\text{, se } t \geq b \end{cases} = x_b(t)\; .
\]
In questo modo vediamo che esistono due famiglie infinite di funzioni, $x^b(t)$ ed $x_b(t)$, (indicizzate dal parametro $b > 9$) che risolvono il problema per $x_0 = 0$, quindi l'unicità manca sicuramente e perciò:

$A = RR \setminus \{ 0\}$.

[nicetry1]

Arrivo ora a leggere, ti ringrazio moltissimo della spiegazione passo passo e super dettagliata, di cui ho capito i passaggi