Problema di Cauchy e intervallo massimale
Salve a tutti, ho un problema nel capire come determinare il dominio di \(\displaystyle y \) dopo aver determinato la soluzione di un problema di Cauchy. Vi mostro le mie perplessità in due esempi:
1.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \sqrt{y} \\ y(0)=1 \end{cases} \)
dopo aver trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è \(\displaystyle y(x)= \left(\frac{1}{2} x +c \right) ^2 \) si ottiene \(\displaystyle c=1 \). Primo dubbio: perchè non \(\displaystyle c=\pm 1 \)?
Viene trovato l'intervallo massimale cioè \(\displaystyle [ -2 , +\infty ) \) Come viene trovato?
2.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \frac{y}{x(1+9x^2)} \\ y(1)= \sqrt{10} \end{cases} \) e \(\displaystyle \mathrm{dom}(y)= (0, +\infty) \). Come viene calcolato? Ringrazio in anticipo!
1.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \sqrt{y} \\ y(0)=1 \end{cases} \)
dopo aver trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è \(\displaystyle y(x)= \left(\frac{1}{2} x +c \right) ^2 \) si ottiene \(\displaystyle c=1 \). Primo dubbio: perchè non \(\displaystyle c=\pm 1 \)?
Viene trovato l'intervallo massimale cioè \(\displaystyle [ -2 , +\infty ) \) Come viene trovato?
2.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \frac{y}{x(1+9x^2)} \\ y(1)= \sqrt{10} \end{cases} \) e \(\displaystyle \mathrm{dom}(y)= (0, +\infty) \). Come viene calcolato? Ringrazio in anticipo!
Risposte
Io facendo i calcoli ottengo:
\[\sqrt{y}=\frac{x}{2}+\frac{c}{2}\]
e dunque usando la condizione iniziale $y(0)=1$ ottengo:
\[1=\frac{c}{2} \Longrightarrow c=2\]
da cui:
\[\sqrt{y}=\frac{x}{2}+1\]
Il dominio massimale quindi si ottiene banalmente imponendo che:
\[\frac{x}{2}+1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2\]
Infine quindi abbiamo $y=\left(\frac{x}{2}+1\right)^2$.
\[\sqrt{y}=\frac{x}{2}+\frac{c}{2}\]
e dunque usando la condizione iniziale $y(0)=1$ ottengo:
\[1=\frac{c}{2} \Longrightarrow c=2\]
da cui:
\[\sqrt{y}=\frac{x}{2}+1\]
Il dominio massimale quindi si ottiene banalmente imponendo che:
\[\frac{x}{2}+1 \ge 0 \Longrightarrow x \ge -2\]
Infine quindi abbiamo $y=\left(\frac{x}{2}+1\right)^2$.
Per quanto riguarda il secondo esercizio il discorso è analogo.
Hai un PDC con un'equazione differenziale a variabili separabili:
\[y'=\frac{y}{x(1+9x^2)} \Longrightarrow \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x(1+9x^2)}\]
Ovviamente $\int \frac{dy}{y}=\log y$. Si tratta solo di risolvere l'altro integrale:
\[\frac{1}{x(1+9x^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+9x^2}=\frac{(9A+B)x^2+Cx+A}{x(1+9x^2)}\]
da cui:
\[A=1,B=-9,C=0\]
Dunque:
\[\int \frac{dx}{x(1+9x^2)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{9x}{1+9x^2}\right)dx=\log x-\frac{1}{2}\log(1+9x^2)+c\]
Mettendo tutto insieme:
\[\log y=\log\frac{xe^c}{\sqrt{1+9x^2}} \Longrightarrow \frac{xe^c}{\sqrt{1+9x^2}}>0 \Longrightarrow x>0\]
In definitiva:
\[y=\frac{xe^c}{\sqrt{1+9x^2}}\]
Ora usiamo la condizione iniziale $y(1)=\sqrt{10}$:
\[\sqrt{10}=\frac{e^c}{\sqrt{10}} \Longrightarrow e^c=10\]
Quindi:
\[y=\frac{10x}{\sqrt{1+9x^2}}, x \in (0,+\infty)\]
Hai un PDC con un'equazione differenziale a variabili separabili:
\[y'=\frac{y}{x(1+9x^2)} \Longrightarrow \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x(1+9x^2)}\]
Ovviamente $\int \frac{dy}{y}=\log y$. Si tratta solo di risolvere l'altro integrale:
\[\frac{1}{x(1+9x^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+9x^2}=\frac{(9A+B)x^2+Cx+A}{x(1+9x^2)}\]
da cui:
\[A=1,B=-9,C=0\]
Dunque:
\[\int \frac{dx}{x(1+9x^2)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{9x}{1+9x^2}\right)dx=\log x-\frac{1}{2}\log(1+9x^2)+c\]
Mettendo tutto insieme:
\[\log y=\log\frac{xe^c}{\sqrt{1+9x^2}} \Longrightarrow \frac{xe^c}{\sqrt{1+9x^2}}>0 \Longrightarrow x>0\]
In definitiva:
\[y=\frac{xe^c}{\sqrt{1+9x^2}}\]
Ora usiamo la condizione iniziale $y(1)=\sqrt{10}$:
\[\sqrt{10}=\frac{e^c}{\sqrt{10}} \Longrightarrow e^c=10\]
Quindi:
\[y=\frac{10x}{\sqrt{1+9x^2}}, x \in (0,+\infty)\]
"Buraka":
Primo dubbio: perchè non \(\displaystyle c=\pm 1 \)?
Perché hai ragione tu. Tutte e due le funzioni, per \(c=1\) e per \(c=-1\), sono soluzioni dell'equazione data.
Mi fa notare Mathita che dico una vaccata. Il mio discorso va bene per l'equazione
\[
(y')^2=y, \]
ma non per l'equazione data. Quindi, \(c=-1\) non corrisponde ad una soluzione del problema di Cauchy assegnato, anche se corrisponde ad una soluzione dell'equazione.
Questa qua è la vaccata
\[
(y')^2=y, \]
ma non per l'equazione data. Quindi, \(c=-1\) non corrisponde ad una soluzione del problema di Cauchy assegnato, anche se corrisponde ad una soluzione dell'equazione.
"io":
Perché hai ragione tu. Tutte e due le funzioni, per c=1 e per c=−1, sono soluzioni dell'equazione data.
Questa qua è la vaccata
Sotto l'invito di dissonance, tento di spiegare qual è il problema di fondo. Proprio come ha detto dissonance, la funzione $f(x)=\left(\frac{1}{2}x-1\right)^2$ soddisfa l'equazione differenziale $y'=\sqrt{y}$, epperò non soddisfa la condizione iniziale $y(0)=1$.
La relazione $y'=\sqrt{y}$ trasporta con sé due condizioni:
$y\ge 0$, condizione di realtà che $f(x)$ soddisfa;
$y'\ge 0$, condizione di concordanza, che per $f(x)$ diventa
\[\frac{1}{2}x-1\ge 0 \implies x\ge 2\]
vincolo che $x_0=0$ non soddisfa.
Vincoli celati a parte, ho una domanda che riguarda l'intervallo massimale della soluzione $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$. Se la memoria non mi inganna (e vi garantisco che lo fa nove volte su dieci), l'insieme massimale è un intervallo aperto, mentre qui $[-2,+\infty)$ non lo è. Ho pensato fosse l'intervallo massimale di esistenza, però $y(x)$ ammette il prolungamento differenziabile
\[\tilde{y}(x)=\begin{cases}y(x),&\mbox{se} \ x\in[-2,+\infty)\\ 0,&\mbox{se} \ x\in (-\infty,-2)\end{cases}\]
che soddisfa il PC ed è definito su $\mathbb{R}$. Ho supposto che $[-2,+\infty)$ fosse l'intervallo più grande in cui vige il regime di unicità della soluzione, ma ... non è così perché $\tilde{y}(x)$ è l'unico prolungamento differenziabile di $y(x)$ che è soluzione massimale di PC, sicché... che diamine è $[-2,+\infty)$?
La relazione $y'=\sqrt{y}$ trasporta con sé due condizioni:
$y\ge 0$, condizione di realtà che $f(x)$ soddisfa;
$y'\ge 0$, condizione di concordanza, che per $f(x)$ diventa
\[\frac{1}{2}x-1\ge 0 \implies x\ge 2\]
vincolo che $x_0=0$ non soddisfa.
Vincoli celati a parte, ho una domanda che riguarda l'intervallo massimale della soluzione $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$. Se la memoria non mi inganna (e vi garantisco che lo fa nove volte su dieci), l'insieme massimale è un intervallo aperto, mentre qui $[-2,+\infty)$ non lo è. Ho pensato fosse l'intervallo massimale di esistenza, però $y(x)$ ammette il prolungamento differenziabile
\[\tilde{y}(x)=\begin{cases}y(x),&\mbox{se} \ x\in[-2,+\infty)\\ 0,&\mbox{se} \ x\in (-\infty,-2)\end{cases}\]
che soddisfa il PC ed è definito su $\mathbb{R}$. Ho supposto che $[-2,+\infty)$ fosse l'intervallo più grande in cui vige il regime di unicità della soluzione, ma ... non è così perché $\tilde{y}(x)$ è l'unico prolungamento differenziabile di $y(x)$ che è soluzione massimale di PC, sicché... che diamine è $[-2,+\infty)$?
"Mathita":
La relazione $y'=\sqrt{y}$ trasporta con sé due condizioni:
$y≥0$, condizione di realtà che $f(x)$ soddisfa;
$y'≥0$, condizione di concordanza, che per $f(x)$ diventa
$12x−1≥0⟹x≥2$
vincolo che $x_0=0$ non soddisfa.
Concordo. Quindi di fatto $y(x)=\left(\frac{x}{2}-1\right)^2$ NON è soluzione del PdC.
"Mathita":
Vincoli celati a parte, ho una domanda che riguarda l'intervallo massimale della soluzione $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$. Se la memoria non mi inganna (e vi garantisco che lo fa nove volte su dieci), l'insieme massimale è un intervallo aperto, mentre qui $[-2,+\infty)$ non lo è.
che diamine è $[-2,+\infty)$?
Mi è capitato di leggere questo thread di qualche settimana fa, e mi ha incuriosito la domanda di Mathita.
Sono un po' arruginita (e un po' rintronata data l'ora), ma la mia impressione è che Mathita abbia ragione, cioè l'insieme massimale di esistenza è un intervallo aperto: in questo caso secondo me l'intervallo massimale di esistenza dovrebbe essere $(-2,+\infty)$ .
Per $ x=-2$ la soluzione 'muore', c'è break down, ho degli appunti in cui si fa proprio questo esempio, con al secondo membro dell'equazione $ sqrt(y) $ e si dice che si ha break down quando $y$ diventa zero, perché $ lim_(x ->-2 +)y'(x)=oo $ .
Lì la funzione non è lipschitziana, la derivata non è definita.
Insomma, mi chiedo se quell'intervallo chiuso a sinistra non sia un errore.
Mi farebbe piacere sapere la vostra opinione.
Come già scriveva Mathita, la soluzione massimale del PdC è $y(x;0,1) := \{( 1/4 (x + 2)^2, text(, se ) x >= -2), (0, text(, se ) x <= -2):}$ ed è definita ovunque.
Quindi quell’insieme di definizione è tirato fuori a casaccio.
@ gabriella127: La soluzione non ha problemi di regolarità $C^1$ in $-2$, ma non è derivabile due volte in $-2$ (cosa che non interessa, visto che la EDO è del primo ordine).
La EDO ha problemi di unicità lì dove le soluzioni si annullano (il secondo membro non è lipschitziano in $0$), quindi hanno problemi di unicità tutti i PdC relativi a quella EDO con condizioni iniziali del tipo $y(x_0) = 0$: infatti, $\{(y’(x) = sqrt(y(x))), (y(x_0) = 0):}$ ha la soluzione identicamente nulla $y_**(x) = 0$ ed anche quella che si divide da essa nel punto $x_0$, cioè $y(x) = \{(1/4 (x-x_0)^2, text(, se ) x >= x_0), (0, text(, se ) x <= x_0):}$.
Quindi quell’insieme di definizione è tirato fuori a casaccio.
@ gabriella127: La soluzione non ha problemi di regolarità $C^1$ in $-2$, ma non è derivabile due volte in $-2$ (cosa che non interessa, visto che la EDO è del primo ordine).
La EDO ha problemi di unicità lì dove le soluzioni si annullano (il secondo membro non è lipschitziano in $0$), quindi hanno problemi di unicità tutti i PdC relativi a quella EDO con condizioni iniziali del tipo $y(x_0) = 0$: infatti, $\{(y’(x) = sqrt(y(x))), (y(x_0) = 0):}$ ha la soluzione identicamente nulla $y_**(x) = 0$ ed anche quella che si divide da essa nel punto $x_0$, cioè $y(x) = \{(1/4 (x-x_0)^2, text(, se ) x >= x_0), (0, text(, se ) x <= x_0):}$.
@gugo, Non so, rileggerò quello che hai scritto, ora non è ora, sono propensa all'abbiocco... 
. Non parlavo comunque di unicità, solo dell'intervallo massimale di esistenza, e che quell'intervallo chiuso a sinistra andrebbe sostituito con un intervallo aperto a sinistra, escludendo $-2$
E' che per $y=0 $ la derivata non esiste. Per cui la soluzione per $x=-2$ salta, crolla.
E' quello che mi trovo nell'esempio di un corso. Proprio uguale.
Comunque domani ci ripenso.
. Non parlavo comunque di unicità, solo dell'intervallo massimale di esistenza, e che quell'intervallo chiuso a sinistra andrebbe sostituito con un intervallo aperto a sinistra, escludendo $-2$E' che per $y=0 $ la derivata non esiste. Per cui la soluzione per $x=-2$ salta, crolla.
E' quello che mi trovo nell'esempio di un corso. Proprio uguale.
Comunque domani ci ripenso.
"gabriella127":
Non parlavo comunque di unicità, solo dell'intervallo massimale di esistenza, e che quell'intervallo chiuso a sinistra andrebbe sostituito con un intervallo aperto a sinistra, escludendo $-2$
No, questo è sbagliato.
"gabriella127":
E' che per $y=0 $ la derivata non esiste.
La derivata di chi non esiste?
Del secondo membro della EDO, cioè $f(x,y) := sqrt(y)$?
E che ci importa?
La mancata lipschitzianità del secondo membro non causa fenomeni di non esistenza, ma di non unicità (cosa di cui si era accorto già Peano). Quindi la soluzione locale non nulla $y(x) = 1/4 (x+2)^2$ può essere prolungata su $-2$ ed a sinistra di tale punto. Può accadere che il prolungamento non sia unico, ma questo non è il caso della EDO che stiamo considerando.
"gabriella127":
Per cui la soluzione per $x=-2$ salta, crolla.
No.
Per $x=-2$ la soluzione locale non nulla $y(x) =1/4 (x+2)^2$ “collassa” sulla soluzione identicamente nulla della EDO, ma non ci sono fenomeni strani a livello di continuità o di derivabilità.
"gabriella127":
E' quello che mi trovo nell'esempio di un corso. Proprio uguale.
Mi pare strano.
Riferimento?
Guarda, è proprio così. Riguardo gli appunti e lo scrivo.
"gugo82":
[
[quote="gabriella127"]Per cui la soluzione per $x=-2$ salta, crolla.
No.
Per $x=-2$ la soluzione locale non nulla $y(x) =1/4 (x+2)^2$ “collassa” sulla soluzione identicamente nulla della EDO,
[/quote]
E' quello che sto dicendo, mi riferisco all'esercizio postato da Bukara, dove chiede di trovare l'intervallo massimale di quella soluzione da lui indicata $y(x)=(x/2+1)^2$, tutto qui, e quella ha break down per $x=-2$, che deve essere escluso dall'intervallo massimale di esistenza di quella soluzione.
Comunque l'esempio lo avevo negli appunti di un corso a matematica alla Sapienza e lo stesso esempio è citato pure da un'altra parte, delle video lezioni di Analisi dell'Università di Pisa. Recupero i riferimenti e scrivo.
Ma se il collasso su una soluzione stazionaria non genera problemi di derivabilità, non vedo dove sia il problema…
Non c'è un problema, rispondevo solo alla domanda postata sull'intervallo massimale di quella soluzione locale specifica e alla perplessità di Mathita sul fatto ci fosse l'intervallo chiuso a sinistra $[-2, +oo)$ come intervallo massimale.
Il problema è che $[-2, oo[$ non è l’intervallo di definizione della soluzione massimale, ma l’intervallo massimale in cui l’unica soluzione massimale del PdC ha l’espressione $1/4 (x+2)^2$.
E' quello che ho detto, mai parlato di intervallo di definizione della soluzione massimale, ma di intervallo massimale di definizione di quella soluzione. Mi sa che diciamo le stesse cose .
.
No, gabriella127, non è lo stesso.
Sì,gugo, scusami, ieri sera ho letto e scritto di fretta.
Io mi sono occupata solo della domanda originaria e della obiezione di Mathita.
E di niente altro. Non mi sono mai occupata di soluzioni massimali, etc.
Leonardo96 scrive che l'intervallo massimale di esistenza di quella soluzione viene da $x/2+1>=0$ ossia $x>=-2$.
Mathita ha obiettato che gli sembrava strano che l'intervallo massimale di esistenza fosse chiuso a sinistra. Stop.
Io ho risposto a questo dicendo che mi sembrava che $-2$ dovrebbe essere escluso dall'intervallo di esistenza perché in $-2$ quella soluzione locale crolla (non essendo definita la derivata $y'(x)$).
E tu su questo break down di quella soluzione in $-2$ sei stato d'accordo. STOP.
Di altre questioni riguardo quel problema di Cauchy non me ne sono occupata.
Io mi sono occupata solo della domanda originaria e della obiezione di Mathita.
E di niente altro. Non mi sono mai occupata di soluzioni massimali, etc.
"Buraka":
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \sqrt{y} \\ y(0)=1 \end{cases} \)
dopo aver trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è \(\displaystyle y(x)= \left(\frac{1}{2} x +c \right) ^2 \) si ottiene \(\displaystyle c=1 \).
Viene trovato l'intervallo massimale cioè \(\displaystyle [ -2 , +\infty ) \) Come viene trovato?
Leonardo96 scrive che l'intervallo massimale di esistenza di quella soluzione viene da $x/2+1>=0$ ossia $x>=-2$.
Mathita ha obiettato che gli sembrava strano che l'intervallo massimale di esistenza fosse chiuso a sinistra. Stop.
Io ho risposto a questo dicendo che mi sembrava che $-2$ dovrebbe essere escluso dall'intervallo di esistenza perché in $-2$ quella soluzione locale crolla (non essendo definita la derivata $y'(x)$).
E tu su questo break down di quella soluzione in $-2$ sei stato d'accordo. STOP.
Di altre questioni riguardo quel problema di Cauchy non me ne sono occupata.
Ciao a tutti e buon anno! Scusate se non sono più intervenuto nella discussione, ma gli eventi mi hanno trasportato verso altri lidi.
@gabriella127: avrei bisogno di un chiarimento. Cosa intendi con break down? È per caso un punto in cui la soluzione non è derivabile? Se è così, $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$ è derivabile in ogni intorno destro di $-2$ ed è raccordabile in maniera liscia con la funzione identicamente nulla.
Ho chiesto a un mio (ex) collega di Università, molto più ferrato di me sull'argomento, e mi ha detto che $[-2,+\infty)$ è da intendere come l'intervallo massimale in cui l'espressione analitica della soluzione è proprio $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$ (che poi è ciò che ha scritto Gugo82!).
@gabriella127: avrei bisogno di un chiarimento. Cosa intendi con break down? È per caso un punto in cui la soluzione non è derivabile? Se è così, $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$ è derivabile in ogni intorno destro di $-2$ ed è raccordabile in maniera liscia con la funzione identicamente nulla.
Ho chiesto a un mio (ex) collega di Università, molto più ferrato di me sull'argomento, e mi ha detto che $[-2,+\infty)$ è da intendere come l'intervallo massimale in cui l'espressione analitica della soluzione è proprio $y(x)=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2$ (che poi è ciò che ha scritto Gugo82!).
Sì Mathita, proprio cosi, c'è break down di quella soluzione locale indicata da Buraka perché in $-2$ non è definita la derivata di y(x). Parliamo solo di quella soluzione lì, non di altre cose tipo se si raccorda a un'altra soluzione etc. E quindi $-2$ andrebbe escluso dall'intervallo massimale di definizione di quella soluzione.
Questa è la definizione di intervallo massimale che mi è stata data, poi per carità è questione di intendersi se uno la vuole definire in altro modo, può darsi che non sia univoco, vabbe', basta intendersi, allora il $-2$ ce lo mettiamo.
E non è che me lo sto inventando io, che lì c'è break down, ho degli appunti di professori universitari che fanno lo stesso identico esempio (ciò il libro a casa, , come diceva mi pare Frassica..)
Al di là della definizione di intervallo massimale, il succo è questo: ci sono punti in cui una soluzione locale può morire, finisce là, crepa là, non va avanti (o indietro se ci riferiamo al passato), e ci sono due tipi possibili di morte: il blow up, cioè la soluzione esplode, va a infinito, e il break down (o come lo vuoi chiamare, collasso, crollo) quando si esce dall'insieme di definizione dei membri dell'equazione, e un caso tipico è proprio questo, la derivata che va a infinito, non definita.
Se poi collassa addosso a una soluzione 'buona' vabbe', siamo contenti, ma è un altro discorso.
Io facevo un discorso molto semplice relativo a quella soluzione postata da Buraka.
Questo mi è stato detto, ambasciator non porta pena
.
Questa è la definizione di intervallo massimale che mi è stata data, poi per carità è questione di intendersi se uno la vuole definire in altro modo, può darsi che non sia univoco, vabbe', basta intendersi, allora il $-2$ ce lo mettiamo.
E non è che me lo sto inventando io, che lì c'è break down, ho degli appunti di professori universitari che fanno lo stesso identico esempio (ciò il libro a casa,
, come diceva mi pare Frassica..)Al di là della definizione di intervallo massimale, il succo è questo: ci sono punti in cui una soluzione locale può morire, finisce là, crepa là, non va avanti (o indietro se ci riferiamo al passato), e ci sono due tipi possibili di morte: il blow up, cioè la soluzione esplode, va a infinito, e il break down (o come lo vuoi chiamare, collasso, crollo) quando si esce dall'insieme di definizione dei membri dell'equazione, e un caso tipico è proprio questo, la derivata che va a infinito, non definita.
Se poi collassa addosso a una soluzione 'buona' vabbe', siamo contenti, ma è un altro discorso.
Io facevo un discorso molto semplice relativo a quella soluzione postata da Buraka.
Questo mi è stato detto, ambasciator non porta pena
.
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