Problema di Cauchy e intervallo massimale
Salve a tutti, ho un problema nel capire come determinare il dominio di \(\displaystyle y \) dopo aver determinato la soluzione di un problema di Cauchy. Vi mostro le mie perplessità in due esempi:
1.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \sqrt{y} \\ y(0)=1 \end{cases} \)
dopo aver trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è \(\displaystyle y(x)= \left(\frac{1}{2} x +c \right) ^2 \) si ottiene \(\displaystyle c=1 \). Primo dubbio: perchè non \(\displaystyle c=\pm 1 \)?
Viene trovato l'intervallo massimale cioè \(\displaystyle [ -2 , +\infty ) \) Come viene trovato?
2.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \frac{y}{x(1+9x^2)} \\ y(1)= \sqrt{10} \end{cases} \) e \(\displaystyle \mathrm{dom}(y)= (0, +\infty) \). Come viene calcolato? Ringrazio in anticipo!
1.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \sqrt{y} \\ y(0)=1 \end{cases} \)
dopo aver trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è \(\displaystyle y(x)= \left(\frac{1}{2} x +c \right) ^2 \) si ottiene \(\displaystyle c=1 \). Primo dubbio: perchè non \(\displaystyle c=\pm 1 \)?
Viene trovato l'intervallo massimale cioè \(\displaystyle [ -2 , +\infty ) \) Come viene trovato?
2.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \frac{y}{x(1+9x^2)} \\ y(1)= \sqrt{10} \end{cases} \) e \(\displaystyle \mathrm{dom}(y)= (0, +\infty) \). Come viene calcolato? Ringrazio in anticipo!

Risposte
Ma non è vero che in $-2$ la soluzione locale muore né che la sua derivata non è definita...
E vabbe' ... sarà così, io ho letto diversamente.
Sì vede che la notizia che $ sqrt(y) $ ha derivata non finita in zero è fortemente esagerata...
Sì vede che la notizia che $ sqrt(y) $ ha derivata non finita in zero è fortemente esagerata...

In questo caso $\sqrt{y}$ è l'espressione della derivata prima di $y$ (per via dell'uguaglianza $y'=\sqrt{y}$), perché ne studi la derivabilità in $y=0$? Cosa mi sta sfuggendo?

"gabriella127":
E vabbe' ... sarà così, io ho letto diversamente.
Sì vede che la notizia che $ sqrt(y) $ ha derivata non finita in zero è fortemente esagerata...
Ma questo non c'entra nulla con la derivabilità semplice della soluzione in $-2$.
Come ho già detto, il fatto che il secondo membro $f(x,y) := sqrt(y)$ della EDO sia solo di classe $C^0(RR xx [0,+oo[) nn C^1(RR xx ]0,+oo[)$ non influenza il fatto che le soluzioni massimali siano di classe $C^1(RR)$.
Il problema, casomai, è che le soluzioni massimali di $\{ (y^\prime (x) = sqrt(y(x))) , (y(x_0) = y_0>0):}$ non sono più regolari di $C^1(RR)$, poiché tutte "collidono" in un certo punto $x^** = x^** (x_0,y_0) = x_0 - 2 sqrt(y_0)$ contro il bordo dell'insieme di definizione del secondo membro della EDO[nota]Rimanendovi incollate per valori di $x < x^**$.[/nota] e lì, nel punto di contatto $x^**$, si perde la maggiore regolarità (che, invece, è garantita a sinistra e destra dal punto di contatto).
Insomma, mi sa che stai confondendo la derivabilità del secondo membro della EDO con la derivabilità delle soluzioni massimali.
P.S.: Fonte dell'informazione?
Grazie a tutti delle risposte. In alcune cose non vi ho seguito, in altre ho capito qualcosa. Detto ciò scriverò per qualsiasi altro dubbio!

Sì gugo hai ragione! Mi sono incasinata, quello che dicevo è relativo al caso in cui $ sqrt(y) $ o simili è la soluzione, che in zero non si può derivare, ho pensato che fosse quello il caso, mi è andato in tilt il cervello cercando di capire se fosse giusto o no l'intervallo chiuso a sinistra!.
I professori che citavo si riferivano a quello (comunque sono appunti da un corso di Troianiello alla Sapienza di diversi anni fa + delle videolezioni di un professore di Pisa, che dovrei rintracciare, cioè il professore si chiama Gobbino e ho degli appunri da lì, solo che dovrei rintracciare quale video era, i concetti e terminologia li ho ricalcati anche da lì).
I professori che citavo si riferivano a quello (comunque sono appunti da un corso di Troianiello alla Sapienza di diversi anni fa + delle videolezioni di un professore di Pisa, che dovrei rintracciare, cioè il professore si chiama Gobbino e ho degli appunri da lì, solo che dovrei rintracciare quale video era, i concetti e terminologia li ho ricalcati anche da lì).
"gabriella127":
Sì gugo hai ragione!
Appunto…

