Problema di Cauchy e intervallo massimale

[Buraka]

Salve a tutti, ho un problema nel capire come determinare il dominio di \(\displaystyle y \) dopo aver determinato la soluzione di un problema di Cauchy. Vi mostro le mie perplessità in due esempi:
1.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \sqrt{y} \\ y(0)=1 \end{cases} \)

dopo aver trovato che la soluzione dell'equazione differenziale è \(\displaystyle y(x)= \left(\frac{1}{2} x +c \right) ^2 \) si ottiene \(\displaystyle c=1 \). Primo dubbio: perchè non \(\displaystyle c=\pm 1 \)?
Viene trovato l'intervallo massimale cioè \(\displaystyle [ -2 , +\infty ) \) Come viene trovato?

2.
\(\displaystyle \begin{cases} y' = \frac{y}{x(1+9x^2)} \\ y(1)= \sqrt{10} \end{cases} \) e \(\displaystyle \mathrm{dom}(y)= (0, +\infty) \). Come viene calcolato? Ringrazio in anticipo!

[gugo82]

Ma non è vero che in $-2$ la soluzione locale muore né che la sua derivata non è definita...

[gabriella127]

E vabbe' ... sarà così, io ho letto diversamente.
Sì vede che la notizia che $ sqrt(y) $ ha derivata non finita in zero è fortemente esagerata...

[Mathita]

In questo caso $\sqrt{y}$ è l'espressione della derivata prima di $y$ (per via dell'uguaglianza $y'=\sqrt{y}$), perché ne studi la derivabilità in $y=0$? Cosa mi sta sfuggendo?

[gugo82]

"gabriella127":E vabbe' ... sarà così, io ho letto diversamente.
Sì vede che la notizia che $ sqrt(y) $ ha derivata non finita in zero è fortemente esagerata...

Ma questo non c'entra nulla con la derivabilità semplice della soluzione in $-2$.

Come ho già detto, il fatto che il secondo membro $f(x,y) := sqrt(y)$ della EDO sia solo di classe $C^0(RR xx [0,+oo[) nn C^1(RR xx ]0,+oo[)$ non influenza il fatto che le soluzioni massimali siano di classe $C^1(RR)$.
Il problema, casomai, è che le soluzioni massimali di $\{ (y^\prime (x) = sqrt(y(x))) , (y(x_0) = y_0>0):}$ non sono più regolari di $C^1(RR)$, poiché tutte "collidono" in un certo punto $x^** = x^** (x_0,y_0) = x_0 - 2 sqrt(y_0)$ contro il bordo dell'insieme di definizione del secondo membro della EDO[nota]Rimanendovi incollate per valori di $x < x^**$.[/nota] e lì, nel punto di contatto $x^**$, si perde la maggiore regolarità (che, invece, è garantita a sinistra e destra dal punto di contatto).

Insomma, mi sa che stai confondendo la derivabilità del secondo membro della EDO con la derivabilità delle soluzioni massimali.


P.S.: Fonte dell'informazione?

[Buraka]

Grazie a tutti delle risposte. In alcune cose non vi ho seguito, in altre ho capito qualcosa. Detto ciò scriverò per qualsiasi altro dubbio!

[gabriella127]

Sì gugo hai ragione! Mi sono incasinata, quello che dicevo è relativo al caso in cui $ sqrt(y) $ o simili è la soluzione, che in zero non si può derivare, ho pensato che fosse quello il caso, mi è andato in tilt il cervello cercando di capire se fosse giusto o no l'intervallo chiuso a sinistra!.
I professori che citavo si riferivano a quello (comunque sono appunti da un corso di Troianiello alla Sapienza di diversi anni fa + delle videolezioni di un professore di Pisa, che dovrei rintracciare, cioè il professore si chiama Gobbino e ho degli appunri da lì, solo che dovrei rintracciare quale video era, i concetti e terminologia li ho ricalcati anche da lì).

[gugo82]

"gabriella127":Sì gugo hai ragione!

Appunto…