Problema di Cauchy e grafico vicino all'origine

[Ale2504]

Ciao a tutti,
in problemi del tipo:

Sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy:

${((x−2)y'+2y=x^2),(y(0)=−1):}$

Allora il grafico di y(x) vicino all'origine e':



Come conviene procedere? Cioe', c'e forse un altro modo per risolverlo oltre a risolvere il problema di cauchy??

Grazie!

[_prime_number]

Io ricaverei $y'(x)$ dalla prima equazione (dato che $x$ è vicino a $0$ puoi dividere per $x-2$) e vedrei cosa accade facendo tendere $x\to 0$.
Dopo di che derivi quest'equazione e osservi allo stesso modo il comportamento di $y''(x)$ per vedere qual è la giusta concavità.

Paola

[DajeForte]

Devi andare a logica.

Infatti da $(x-2)y'+2y=x^2$ ottieni $(x-2)y'=x^2-2y$; siccome:

- x^2 è positivo;
- -2y è positivo (in un intorno dell'origine)
- x-2 è negativo;

deve essere $y'$ negativo; quindi la y decresce.

Prova un ragionamento simile per la concavità

[Ale2504]

Per quanto riguarda la monotonia e' tutto chiaro tranne il comportamento di $-2y$. Come fa ad essere positivo in un intorno di $0$?

Grazie ad entrambi!

[DajeForte]

Perchè $y(0)=-1$ e la funzione è continua (in quanto derivabile), pertanto in un intorno di 0, y sarà negativa (permanenza del segno) e $-2y>0$

[Ale2504]

Ok perfetto grazie! ora provo con la concavita' :S

[Ale2504]

Ultimo dubbio: la derivata seconda la devo fare rispetto ad x o ad y?

Grazie!

[Camillo]

Rispetto ad $x$ , vuoi conoscere il segno di $y'' $ e quindi stabilire se è il grafico a oppure b quello corretto.

[Ale2504]

Ottimo allora tutto torna. Siete stati tutti utilissimi