Problema di Cauchy con una condizione iniziale
Salve ragazzi, oggi ho sostenuto l'esame di analisi II. Confrontando i risultati mi sono reso conto di aver sbagliato il problema di Cauchy.
Lo guardo e lo riguardo ma non trovo l'errore!! Mi aiutate?
$ { y^1=(2*sinx cosx)/(cos(2x)+1) (y+1),( y(2pi)=0 ):} $
Le mie posizioni sono state:
$t=y+1$
$t'=y'$
$t=(2*sinx cosx)/(cos(2x)+1)$
Ecco lo svolgimento:
$int (2*sinx cosx)/(cos(2x)+1)=int (2*sinx cosx)/(2cos^2(x))=int (sinx cosx)/(cos^2(x))=-1/2ln|cos^2x|$
$t(x)=k*e^(int (2*sinx cosx)/(cos(2x)+1))=k/sqrt(cos^2(x))$
da cui
$y(2pi)=k/(sqrt(cos^2(pi)))-1$ e quindi $k=1$
La prof dice invece che $k=sqrt(2)$
Gli integrali li ho gurdati più di una volta e sono sicuro giusti..
Dove sbaglio? Ho impressione che sia nella posizione.. ma non ho ben capito che si fanno.. in tutti gli es. che ho fatto finora l'ho sempre fatta meccanicamente nello stesso modo e non ci sono mai stati problemi, motivo per cui non mi sono mai soffermato più di tanto a capire il perchè venissero in quel modo. Forse baglio qui?
Grazie in anticipo a chiunque voglia aiutarmi..
Lo guardo e lo riguardo ma non trovo l'errore!! Mi aiutate?
$ { y^1=(2*sinx cosx)/(cos(2x)+1) (y+1),( y(2pi)=0 ):} $
Le mie posizioni sono state:
$t=y+1$
$t'=y'$
$t=(2*sinx cosx)/(cos(2x)+1)$
Ecco lo svolgimento:
$int (2*sinx cosx)/(cos(2x)+1)=int (2*sinx cosx)/(2cos^2(x))=int (sinx cosx)/(cos^2(x))=-1/2ln|cos^2x|$
$t(x)=k*e^(int (2*sinx cosx)/(cos(2x)+1))=k/sqrt(cos^2(x))$
da cui
$y(2pi)=k/(sqrt(cos^2(pi)))-1$ e quindi $k=1$
La prof dice invece che $k=sqrt(2)$
Gli integrali li ho gurdati più di una volta e sono sicuro giusti..
Dove sbaglio? Ho impressione che sia nella posizione.. ma non ho ben capito che si fanno.. in tutti gli es. che ho fatto finora l'ho sempre fatta meccanicamente nello stesso modo e non ci sono mai stati problemi, motivo per cui non mi sono mai soffermato più di tanto a capire il perchè venissero in quel modo. Forse baglio qui?
Grazie in anticipo a chiunque voglia aiutarmi..
Risposte
Scusa, ma non ti conviene esemplificare $\cos^2x$ al denominatore con $cos x$ al numeratore? (All'interno dell'integrale!) Sicché l'integrale è $-\log|\cos x|$.
EDIT: Quasi inutile, me ne sono accorto anche da solo -_-
Poi non capisco le tue posizioni ed il tuo procedimento!
Infine, il problema è: [tex]\begin{cases}\dot y=\int\frac{2\sin x\cos x}{\cos(2x)+1}dx\\y(2\pi)=0\end{cases}[/tex] oppure l'integrale è di troppo?
EDIT: Quasi inutile, me ne sono accorto anche da solo -_-
Poi non capisco le tue posizioni ed il tuo procedimento!
Infine, il problema è: [tex]\begin{cases}\dot y=\int\frac{2\sin x\cos x}{\cos(2x)+1}dx\\y(2\pi)=0\end{cases}[/tex] oppure l'integrale è di troppo?
"j18eos":
Scusa, ma non ti conviene esemplificare $\cos^2x$ al denominatore con $cos x$ al numeratore? (All'interno dell'integrale!) Sicché l'integrale è $-\log|\cos x|$.
Si avrei potuto, ma è pure giusto come ho fatto, quindi non sta qua il problema.. K sarebbe venuto comunque 1 anche in questa maniera.
Poi non capisco le tue posizioni ed il tuo procedimento!
Ecco, mi sa che sta qui il problema.
$t=y+1$ è corretta.. Il problema mi sa che sta nel $t'=alpha(x)*t$
E' che per abitudine in tutti i compiti che ho fatto questa posizione è sempre andata bene, quindi nonstante non avessi ben capito perchè la facessi non me ne sono mai preoccupato perchè ho pensato, tanto è sempre così..
Colpa mia lo ammetto..
Infine, il problema è: [tex]\begin{cases}\dot y=\int\frac{2\sin x\cos x}{\cos(2x)+1}dx\\y(2\pi)=0\end{cases}[/tex] oppure l'integrale è di troppo?
Si si certo hai ragione, l'integrale è di troppo, grazie, correggo il post..
ho corretto anche un altro errore, avevo dimenticato $(y+1)$ motivo per cui ho posto $t=y+1$
Questa equazione è a variabili separabili, si risolve così: $\int\frac{dy}{y+1}=\int\frac{2\sin x\cos x}{\cos(2x)+1}dx$ ed imponendo la condizione iniziale.
Mmm, sai come si risolvono con le posizioni?
Ti faccio capire cosa intendo con un esercizio classico che so svolgere ma, come ti ho detto, l'ho fatto sempre un pò troppo meccanicamente:
$ { ( y'=sinx/(1-cos(x))(y+2) ),( y(-3/2pi)=0 ):} $
Qui procedo così:
Posto $t=y+2$ e $t'=(sen(x))/(1-cos(x))t$
Faccio al solito l'integrale di a(x) e viene fuori $t(x)=k(1-cos)$ da cui $y(x)=k(1-cosx)-2$
Nell'esercizio di prima evidentemente questa classica posizione che finora ho sempre adoperato non è andata bene.. non capisco il perchè..
Ti faccio capire cosa intendo con un esercizio classico che so svolgere ma, come ti ho detto, l'ho fatto sempre un pò troppo meccanicamente:
$ { ( y'=sinx/(1-cos(x))(y+2) ),( y(-3/2pi)=0 ):} $
Qui procedo così:
Posto $t=y+2$ e $t'=(sen(x))/(1-cos(x))t$
Faccio al solito l'integrale di a(x) e viene fuori $t(x)=k(1-cos)$ da cui $y(x)=k(1-cosx)-2$
Nell'esercizio di prima evidentemente questa classica posizione che finora ho sempre adoperato non è andata bene.. non capisco il perchè..
Non trovo nulla di errato in tale caso! Mascheri solo la separazione delle variabili... io lo abbandonerei visto che in fondo usi quanto t'ho detto; inoltre, potrebbe fuorviarti come l'esercizio dell'esame.
Si, infatti stavo osservando che alla fine è proprio la stessa cosa.. quest'ultimo esercizio postato infatti è corretto.
Il problema sta in quello precedente, non riesco a trovare l'errore..
E mi è appena arrivata l'email che ho superato l'esame.. quindi o domani e dopodomani ci sarà l'esame e sono nel panico più totale, è l'unico errore che ho fatto e sicuramente mi farà svolgere nuovamente l'esercizio e sicuramente incapperò nel medesimo errore..
Puoi aiutarmi a scovarlo?
Il problema sta in quello precedente, non riesco a trovare l'errore..
E mi è appena arrivata l'email che ho superato l'esame.. quindi o domani e dopodomani ci sarà l'esame e sono nel panico più totale, è l'unico errore che ho fatto e sicuramente mi farà svolgere nuovamente l'esercizio e sicuramente incapperò nel medesimo errore..
Puoi aiutarmi a scovarlo?
Per abbandonarlo mi sa che è un pò tardi.. ormai mi sono abituato e l'esame probabilmente è domani..
Se può esserti d'aiuto le posizioni che fa la prof nella risoluzione sono:
$t=y+1$ e $t'=-1/2 (cos(2x)+1)/(cos(2x)+1)t
Se può esserti d'aiuto le posizioni che fa la prof nella risoluzione sono:
$t=y+1$ e $t'=-1/2 (cos(2x)+1)/(cos(2x)+1)t
Ma svolgi il conto che ti ho suggerito, confronta e trovi l'errore; io così farei!
Poi non mi convincono quel $k$ vicino all'esponenziale ed il risultato della docente -_-
Poi non mi convincono quel $k$ vicino all'esponenziale ed il risultato della docente -_-
"j18eos":
Ma svolgi il conto che ti ho suggerito, confronta e trovi l'errore; io così farei!
Poi non mi convincono quel $k$ vicino all'esponenziale ed il risultato della docente -_-
Non so, mi sto confondendo, non ci sto capendo più nulla..
Dal conto che ho postato verrebbe $\log|y+1|=-\log|\cos x|+c=-\log|\cos x|+\log e^c=\log|\frac{e^c}{\cos x}|\Rightarrow y(x)=\frac{e^c}{\cos x}-1$ imponendo che $0=y(2\pi)=\frac{e^c}{\cos(2\pi)}-1=e^c-1\Rightarrow e^c=1\Rightarrow c=0$ da cui la soluzione è $y(x)=\frac{1}{\cos x}-1$.
Non posso fare altro!
Non posso fare altro!
Bene adesso ci sono 3 soluzioni anzichè due 
A questo punto non so più che dire. Parlando con altri colleghi in molti avevano ottenuto l'identico risultato della prof. ovvero $y(x)=sqrt(2)/(sqrt(cos(2x)+1)) - 1$
A questo punto non so più che dire. Parlando con altri colleghi in molti avevano ottenuto l'identico risultato della prof. ovvero $y(x)=sqrt(2)/(sqrt(cos(2x)+1)) - 1$
Grazie per l'aiuto comunque!
Utilizza la formula di bisezione e vedi che le soluzioni coincidono -_-
Ma allora è possibile che sia giusta anche la mia $y(x)$?!
$y(x)=1/sqrt(cos^2(x))-1$
$y(x)=1/sqrt(cos^2(x))-1$
Eh sì, esemplifichi la radice col quadrato 
Hai ragione!!!!!! Sono un idiota!!!
Quindi ho fatto giusto!!
Grazie infinite per il tuo aiuto!!!!!!!!
Quindi ho fatto giusto!!
Grazie infinite per il tuo aiuto!!!!!!!!
Anch'io, non ho notato il tuo errore si battitura: l'$=$ al posto del $-$ 
Un secondo.. ma portando fuori dalla radice $cos^2x$ ottengo $|cos(x)|$ non $cos(x)$
Dalla condizione iniziale la x è definita in un intorno di $2\pi$ per cui il coseno positivo; tutto ciò in virtù del teorema di Cauchy(-Lipschitz; a secondo dei gusti)!
Vedi di correggere questa assurdità:
Vedi di correggere questa assurdità:
"playbasfa":in $0=y(2pi)=k/(sqrt(cos^2(2\pi)))-1$.
$y(2pi)=k/(sqrt(cos^2(pi)))=1$
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