Problema di Cauchy con una condizione iniziale

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Salve ragazzi, oggi ho sostenuto l'esame di analisi II. Confrontando i risultati mi sono reso conto di aver sbagliato il problema di Cauchy.
Lo guardo e lo riguardo ma non trovo l'errore!! Mi aiutate?
$ { y^1=(2*sinx cosx)/(cos(2x)+1) (y+1),( y(2pi)=0 ):} $

Le mie posizioni sono state:
$t=y+1$
$t'=y'$
$t=(2*sinx cosx)/(cos(2x)+1)$

Ecco lo svolgimento:
$int (2*sinx cosx)/(cos(2x)+1)=int (2*sinx cosx)/(2cos^2(x))=int (sinx cosx)/(cos^2(x))=-1/2ln|cos^2x|$
$t(x)=k*e^(int (2*sinx cosx)/(cos(2x)+1))=k/sqrt(cos^2(x))$
da cui
$y(2pi)=k/(sqrt(cos^2(pi)))-1$ e quindi $k=1$

La prof dice invece che $k=sqrt(2)$

Gli integrali li ho gurdati più di una volta e sono sicuro giusti..
Dove sbaglio? Ho impressione che sia nella posizione.. ma non ho ben capito che si fanno.. in tutti gli es. che ho fatto finora l'ho sempre fatta meccanicamente nello stesso modo e non ci sono mai stati problemi, motivo per cui non mi sono mai soffermato più di tanto a capire il perchè venissero in quel modo. Forse baglio qui?
Grazie in anticipo a chiunque voglia aiutarmi..

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Mi rispondo da solo:
Ma nell'intervallo in questione in cui è definita $y(x)$ che sarebbe $ 3/2pi,5/2pi $ estremi esclusi il coseno è sempre positivo!

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Non avevo visto la tua risposta
Grazie ancora