Problema di Cauchy con parametro..mi perdo nei passaggi..

[21zuclo]

Ciao a tutti e intanto buon 2014. Questo esercizio l'ho trovato su un eserciziario, però mi perdo in alcuni passaggi fatti dal libro, vorrei capire meglio il procedimento. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Metto l'esercizio, appena trovo il punto in cui mi perdo, mi fermo.

Determinare la soluzione locale del P.d.C. $ { ( y'=y^2-4 ),( y(x_0)=y_0 ):} $ e rappresentarla graficamente.

il libro dice inizialmente che la funzione $f$ è di classe $C^1$ su $ RR^2 $ e quindi il P.d.C. ha una ed una sola soluzione.

Poi dice che soluzioni costanti $ y(x)=\pm 2 $ sono le soluzioni dell'equazione e quindi sono le soluzioni dei problemi con $ y_0=\pm 2 $

poi il libro disegna le 2 line nel piano di equazioni $ y=\pm2 $

Successivamente $ \forall y_0\ne \pm 2 $ si calcola l'integrale generale (ora imposto solo l'inizio e scrivo il risultato)

$ \int_(x_0)^(x) (y'(t))/(y^2(t)-4)dt=\int_(x_0)^(x)dt $ ottenendo (ometto i passaggi che mi sono chiari)

$ y(x)=2((1+(y_0-2)/(y_0+2)e^(4(x-x_0)))/(1-(y_0-2)/(y_0+2)e^(4(x-x_0)))) $

e fino a qui è tutto OK.
Dove mi perdo è adesso, il libro continua dicendo che il più ampio intervallo $I$ di definizione della soluzione è l'interno asse reale se il denominatore non si annulla, cioè se
$ (y_0+2)/(y_0-2)\ne e^(4(x-x_0)), \forall x\in RR $

e poi continua dicendo: "e quindi" $ (y_0+2)/(y_0-2)\leq 0\to y_0\in(-2,2) $

ora fatemi capire una cosa io per il denominatore avrei fatto così $ 1-(y_0-2)/(y_0+2)e^(4(x-x_0))\ne 0 $

e invece il libro ha preso solo questa $ (y_0-2)/(y_0+2)\ne e^(4(x-x_0)) $, perchè? Vorrei capire

poi questo non l'ho capito $ (y_0-2)/(y_0+2)\leq 0 $ Che senso ha?

[ciampax]

Veramente il libro, da quello che hai scritto prima, prende la somma fratto la differenza e non quello che hai scritto dopo. Infatti:
$$\frac{y_0-2}{y_0+2} e^{4(x-x_0)}\ne 1\ \Rightarrow\ e^{4(x-x_0)}\ne \frac{y_0+2}{y_0-2}$$
Ora, dal momento che $x_0$ è arbitrario, l'esponente può assumere qualsiasi valore reale, per cui l'esponenziale può assumere qualsiasi valore positivo. Ne consegue che l'unico modo per essere completamente certi di non avere uguaglianza è fare in modo che la frazione assuma un valore negativo e che, inoltre, $y_0\ne \pm 2$. La soluzione della disequazione per la frazione ti porta a dire che $y_0\in(-2,2)$.

[21zuclo]

"ciampax":
$$\frac{y_0-2}{y_0+2} e^{4(x-x_0)}\ne 1\ \Rightarrow\ e^{4(x-x_0)}\ne \frac{y_0+2}{y_0-2}$$

ah già è vero che sbadato ..

Poi il libro continua l'esercizio dicendo: negli altri casi è invece il più ampio intervallo $I$ contenente $x_0$ in cui il denominatore non si annulla, cioè

$ I=(-\infty, x_0+\ln(root(4)((y_0+2) / (y_0-2)) )), if y_0>2 $

$ I=(x_0+\ln(root(4)((y_0+2) / (y_0-2)) ),+\infty), if y_0<-2 $

Cioè vediamo se ho capito bene quello che sta facendo, prima ha ricavato il valore $y_0$ in pratica il più ampio intervallo che $y_0$ può assumere.

Ora invece ha ricavato il più ampio intervallo che contiene il valore $x_0$

mi ricordo che dal testo, la condizione iniziale era $y(x_0)=y_0$, cioè in pratica si è ricavato quei 2 valori, sotto forma di intervallo giusto?..

[ciampax]

No. O meglio non proprio. Nel caso di cui abbiamo discusso pone questa domanda: se io volessi che $I=RR$ che condizioni dovrei imporre a $y_0$? E fin qui ci siamo.

Ora invece si chiede: e se io volessi scegliere come dato iniziale un valore $y_0\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ quale sarebbe l'intervallo di definizione $I$ della soluzione?