Problema di Cauchy con max{0,y(x)}

[ilamu1]

Buongiorno!! Scusate ma non trovo esempi simili e ho un problema concettuale con questo esercizio :

$\{ ( y'(x)= y(x)Max{0,y(x)}e^x sinx ),( y(0)=Alpha ):} $

a) per quali $ (alpha ) $ esiste soluzione unica del problema?
b) se $ (alpha )!= 0 $ determinare soluzione al variare di $ (alpha ) $
c) se $ (alpha )=0 $ determinare se esistono soluzioni

Allora io so risolvere questo tipo di esercizi , si tratta di un equazione differenziabile a variabili separabili ( y'=G(y(x))*F(x) ). Per il punto a) per esempio so che perché esista soluzione unica nell' intorno del punto iniziale : F e G devono essere continue per ammettere l' esistenza della soluzione e perché sia unica G deve essere derivabile... detto questo che considerazioni vanno fatte per il Max{0,y(x)} ???

Grazie in anticipo per l' attenzione !!

[Rigel1]

La funzione
\[
G(y) := y \, \max\{0, y\} =
\begin{cases}
y^2, & \text{se}\ y \geq 0,\\
0, & \text{se}\ y < 0
\end{cases}
\]
è di classe \(C^1\) (derivabile con derivata continua) in tutto \(\mathbf{R}\), come si può facilmente verificare; di conseguenza per il punto (a) non hai problemi.

[ilamu1]

mmmm....ma per y=0 non è 0?

[Rigel1]

Di chi stiamo parlando? Se stiamo parlando di \(G\) si ha ovviamente \(G(0) = 0\).

[vict85]

Direi che per quanto riguarda \(G(y)\) si ha che

\begin{align}\lim_{h\to 0^{+}} \frac{G(0-h) - G(0)}{-h} &= \lim_{h\to 0^{+}} \frac{G(0+h) - G(0)}{h} \\
\lim_{h\to 0^{+}} \frac{0}{-h} &= \lim_{h\to 0^{+}} \frac{h^2}{h} \\
0 &= \lim_{h\to 0^{+}} h \\
0 &= 0 \\
\end{align}

Quindi la derivata prima esiste in 0

[ilamu1]

scusa sono stata poco chiara il mio dubbio è riguardante la definizione di G , cioè G=y^2 per y strettamente >0?

[Rigel1]

Non cambia niente, tanto in \(0\) vale sempre \(0\).