Problema di Cauchy
Buonasera , ho dei dubbi su questo problema di Cauchy con equazione a variabili separabili (sono le prime ,perdonate gli errori) adesso vi spiego come farei :
$\{(y'=2+e^y),(y(1)=2):}$
Per prima cosa , essendo $b(y)=e^y != 0$ divido per $e^y$ e integro ottenendo : $int \ {y'} / {e^y} dt = int \ 2 dt + c$ cambiando variabile $int \ {dy} / {e^y} = int \ 2 dt + c$ --> $int \ e^-y{dy} = int \ 2 dt + c$
Uguagliando le due soluzioni degli integrali : $ -e^-y = 2t + c$. Ora devo ricavare y :
$ e^-y = -(2t + c)$ ---> $-y = log(-(2t + c))$ ---> $y = -log(-(2t + c))$. Questo è l'integrale generale !
A me però interessa solo la soluzione che in 1 valga 2 , quindi :
$2 = -log(-(2(1) + c))$ ---> $-2 = log(-(2 + c))$ ---> $e^-2=-2+c$ ---> $c=e^-2 +2$
Quindi la soluzione di Cauchy è $y = -log(-(2t + e^-2 +2))$
Potete dirmi se fin qui va bene ? Così poi vado avanti coi dubbi !!! Grazie
$\{(y'=2+e^y),(y(1)=2):}$
Per prima cosa , essendo $b(y)=e^y != 0$ divido per $e^y$ e integro ottenendo : $int \ {y'} / {e^y} dt = int \ 2 dt + c$ cambiando variabile $int \ {dy} / {e^y} = int \ 2 dt + c$ --> $int \ e^-y{dy} = int \ 2 dt + c$
Uguagliando le due soluzioni degli integrali : $ -e^-y = 2t + c$. Ora devo ricavare y :
$ e^-y = -(2t + c)$ ---> $-y = log(-(2t + c))$ ---> $y = -log(-(2t + c))$. Questo è l'integrale generale !
A me però interessa solo la soluzione che in 1 valga 2 , quindi :
$2 = -log(-(2(1) + c))$ ---> $-2 = log(-(2 + c))$ ---> $e^-2=-2+c$ ---> $c=e^-2 +2$
Quindi la soluzione di Cauchy è $y = -log(-(2t + e^-2 +2))$
Potete dirmi se fin qui va bene ? Così poi vado avanti coi dubbi !!! Grazie
Risposte
Attento, hai sbagliato proprio all'inizio: non puoi dividere per $e^y$, perchè ti rimarrebbe $(y')/(e^y)= 2/e^y +1$
Devi dividere piuttosto per $(e^y+2)$: $(y')/(e^y+2) = 1$
Devi dividere piuttosto per $(e^y+2)$: $(y')/(e^y+2) = 1$
E' vero cavolo che errore hai ragione !! E questo perchè se considero $y'=a(t)b(y)$ , nel mio caso $a(t)=1 , b(y)=e^y +2$ dico bene ?
$+$
Grazie ! Domani vi aggiorno
Rieccomi col mio problema di Cauchy .
Allora poichè $b(y)=2+e^y != 0$ divido tutto per $2+e^y$ e integro , così :
$int \ {y'} / {2+e^y} dt = int \ 1 dt$
L'integrale di sinistra lo risolvo sostituendo $e^y=t$ da cui $dy=1/t dt$ , quindi $int \ {1}/{2+t} 1/t dt$ ----> $1/{(2+t)t} = A/{2+t} + B/t$ risolvendo il sistema trovo che A=B=1/2.
Dunque $int \ {1/2}/{2+t}dt + int \ {1/2}/{t} dt$ ----> $1/2 log |2+t| + 1/2 log|t|$ --->$1/2 log |2+e^y| + 1/2 log|e^y|$---->$1/2 (log|2+e^y|+y)$.
Mentre l'integrale di destra è semplicemente $t+c$.
A questo punto eguaglio i due integrali , è giusto fino qua : $1/2 (log|2+e^y|+y) = t+c$.
Allora poichè $b(y)=2+e^y != 0$ divido tutto per $2+e^y$ e integro , così :
$int \ {y'} / {2+e^y} dt = int \ 1 dt$
L'integrale di sinistra lo risolvo sostituendo $e^y=t$ da cui $dy=1/t dt$ , quindi $int \ {1}/{2+t} 1/t dt$ ----> $1/{(2+t)t} = A/{2+t} + B/t$ risolvendo il sistema trovo che A=B=1/2.
Dunque $int \ {1/2}/{2+t}dt + int \ {1/2}/{t} dt$ ----> $1/2 log |2+t| + 1/2 log|t|$ --->$1/2 log |2+e^y| + 1/2 log|e^y|$---->$1/2 (log|2+e^y|+y)$.
Mentre l'integrale di destra è semplicemente $t+c$.
A questo punto eguaglio i due integrali , è giusto fino qua : $1/2 (log|2+e^y|+y) = t+c$.
"previ91":Sicuro?
$1/{(2+t)t} = A/{2+t} + B/t$ risolvendo il sistema trovo che $A=B=1/2$
Uffa ...A = - B ...dopo ci riprovo !
Guarda, non sei distante dalla soluzione: ${(A= - 1/2),(B= 1/2):}$
Quindi ottieni $-1/2 log |2+e^y| + 1/2 log|e^y| = 1/2[y -log(e^y+2)]$
Ecco, abbiamo $ 1/2[y -log(e^y+2)]= t+c$, che diventa $y -log(e^y+2)= 2t +2c$
Ora imponi la condizione $y(1)=2$. Quanto viene $c$?
Quindi ottieni $-1/2 log |2+e^y| + 1/2 log|e^y| = 1/2[y -log(e^y+2)]$
Ecco, abbiamo $ 1/2[y -log(e^y+2)]= t+c$, che diventa $y -log(e^y+2)= 2t +2c$
Ora imponi la condizione $y(1)=2$. Quanto viene $c$?
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