Problema di Cauchy

[innavoig.s]

Buongiorno ragazzi,
ho provato a risolvere questo problema di Cauchy con il metodo di Bernoulli facendo la posizione \(\displaystyle 1/e^y = z(x)\) ma senza tanto successo. Qualcuno può aiutarmi?


\(\displaystyle y' = x^2e^y +1 \)
\(\displaystyle y(0)=0 \)

[gugo82]

Che calcoli hai fatto?

[innavoig.s]

\(\displaystyle y'/e^y = x^2 +1/e^y \)
pongo:
\(\displaystyle 1/e^y = z \)

\(\displaystyle z'=-x^2-z \)
Risolvo l'omogenea :
\(\displaystyle ln(z)= -x +C --> z=-Cx \)
Soluzione particolare con Lagrange:
\(\displaystyle -x^3/3 \)

poi mi sono trovato y con i logaritmi ma il risultato non è corretto

[ciampax]

$z'=-{y'}/{e^y}$....

[innavoig.s]

Si scusami ciampax, la derivata l'ho tenuta in considerazione nei miei calcoli ma ho dimenticato di aggiungerlo qui... comunque arrivo sempre a un risultato diverso!

[ciampax]

Dunque vediamo: da $y'=x^2 e^y+1$, posto $z=1/{e^y}$ si ha l'equazione lineare affine $z'+z=-x^2$. La soluzione dell'omegena $z'=-z$ è $z(x)=C e^{-x}$...

[innavoig.s]

Ok perfetto! avevo sbagliato a scrivere la soluzione dell'equazione omogenea! -.- la soluzione particolare si trova con Lagrange e basta fare \(\displaystyle \int x^2e^x \)

Grazie tanto

[ciampax]

In realtà, la tua equazione è della forma $z'+a(x)\cdot z=b(x)$ (lineare affine) che si risolve usando la "formula"

$z(x)=e^{-A(x)}[\int b(x) e^{A(x)}\ dx+c]$ dove $A(x)=\int a(x)\ dx$.

[innavoig.s]

Scusami ma non ho capito come mai è linerare affine e perchè spunta cot z;

dopo aver trovato la soluzione dell'omogenea ho applicato Lagrange ovvero : B(x)=U'W(x) per quella particolare e mi risulta quell'integrale che ho scritto sopra! cosa mi sfugge?

[ciampax]

Una equazione della forma $y'+a(x) y=b(x)$ si dice lineare affine: nel tuo caso quella con $z$ ha $a(x)=1,\ b(x)=-x^2$. Quello del $\cot z$ è un errore di battitura, corretto!