Problema di Cauchy
Ho fatto un esercizio ma non ho modo di vedere la sua correttezza... potete aiutarmi a capire dove sbaglio (se ci sono errori) ???
L'esercizio era il seguente:
${d^2y}/{dx^2}+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; ${dy}/{dx}(0)=4$
Così è come ho risolto:
$y''+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; $y'(0)=4$
Associo l'equazione caratteristica:
$z^2+4$ da cui ricavo $z=+-2i$
$y(x)=e^{2x}(c_1 cos2x + c_2 sen 2x)$
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
Quindi:
$y(0)=0$ con $c_1=0$ e qualunque $c_2$
$y'(0)=4$ con $c_2=2$ e qualunque $c_1$
Infine... la soluzione è: $e^{2x}(2 sen 2x)$
E' corretto?
Questo tipo di problema si potrebbe risolvere con l'utilizzo di un integrale definito invece di utilizzare le costanti $c_1$ e $c_2$ ??
Vi rignrazio per l'aiuto
L'esercizio era il seguente:
${d^2y}/{dx^2}+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; ${dy}/{dx}(0)=4$
Così è come ho risolto:
$y''+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; $y'(0)=4$
Associo l'equazione caratteristica:
$z^2+4$ da cui ricavo $z=+-2i$
$y(x)=e^{2x}(c_1 cos2x + c_2 sen 2x)$
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
Quindi:
$y(0)=0$ con $c_1=0$ e qualunque $c_2$
$y'(0)=4$ con $c_2=2$ e qualunque $c_1$
Infine... la soluzione è: $e^{2x}(2 sen 2x)$
E' corretto?
Questo tipo di problema si potrebbe risolvere con l'utilizzo di un integrale definito invece di utilizzare le costanti $c_1$ e $c_2$ ??
Vi rignrazio per l'aiuto
Risposte
No, non è corretto. Fai attenzione alle soluzioni generali che hai scritto; le radici della caratteristica sono immaginarie pure.
"Bartolomeo":
$y(x)=e^{2x}(c_1 cos2x + c_2 sen 2x)$
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
Avrai fatto un errore di scrittura, perché la derivata $y'(x)$ è
corretta, cioè hai derivato $c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x)$ e non la funzione $y(x)$ scritta da te.
allora... correggo... dovrebbe essere:
$y(x)=e^x (c_1 cos (2i*x)+c_2sen (2i*x))$
e la derivata prima:
$y'(x)=2e^x*(c_1 cos (2i*x)+c_2sen (2i*x) -2c_1 sen (2i*x) + 2c_2 cos (2i*x))$
Ora ponendo $x=0$:
$y(0) =c_1$ da cui $c_1=0$
$y'(0) =2(2c_2)$ da cui $c_2=1$
Quindi:
$y'(x)=2(sen (2i*x) + 2 cos (2i*x))$
Corretto ora?
$y(x)=e^x (c_1 cos (2i*x)+c_2sen (2i*x))$
e la derivata prima:
$y'(x)=2e^x*(c_1 cos (2i*x)+c_2sen (2i*x) -2c_1 sen (2i*x) + 2c_2 cos (2i*x))$
Ora ponendo $x=0$:
$y(0) =c_1$ da cui $c_1=0$
$y'(0) =2(2c_2)$ da cui $c_2=1$
Quindi:
$y'(x)=2(sen (2i*x) + 2 cos (2i*x))$
Corretto ora?
No, ma scusa: hai studiato qual è l'integrale generale di un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti? Per altro la tua soluzione è una funzione a valori in $\CC$...?
Addirittura coseni e seni di una funzione complessa??!?! 
La soluzione generale dell'omogenea è $y(x)=c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x)$,
non quella che hai scritto te...
La soluzione generale dell'omogenea è $y(x)=c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x)$,
non quella che hai scritto te...
Allora... viene
$z^2+4=0$
$z^2=-4$
$z=+-2i$
ora essendo un'equazione omogenea del secondo ordine (mi pare così), la soluzione dovrebbe essere:
$y=e^{alpha x}(c_1 cos beta x + c_2 sen beta x)$
Nel mio caso $alpha=0$ e $beta=2$
Quindi:
$y(x)=c_1 cos 2x + c_2 sen 2x$ (ecco... ora ho capito dove ho sbagliato)
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
$y(0)=c_1$ -> $c_1=0$
$y'(0)=2c_2$ -> $c_2=2$
Infine:
$y(x)=2sen 2x$
$z^2+4=0$
$z^2=-4$
$z=+-2i$
ora essendo un'equazione omogenea del secondo ordine (mi pare così), la soluzione dovrebbe essere:
$y=e^{alpha x}(c_1 cos beta x + c_2 sen beta x)$
Nel mio caso $alpha=0$ e $beta=2$
Quindi:
$y(x)=c_1 cos 2x + c_2 sen 2x$ (ecco... ora ho capito dove ho sbagliato)
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
$y(0)=c_1$ -> $c_1=0$
$y'(0)=2c_2$ -> $c_2=2$
Infine:
$y(x)=2sen 2x$
Ok.
perfetto... grazie
In questo problema di cauchy ho la seguente equazione: $ e^{x-y}y'-2x=0$
E' del tipo: $g(y(x))y'(x)=f(x)$ ???
dove $g(y(x))y'(x)= y'(x)/e^y$ e $f(x)=2x/e^x$
giusto?
E' del tipo: $g(y(x))y'(x)=f(x)$ ???
dove $g(y(x))y'(x)= y'(x)/e^y$ e $f(x)=2x/e^x$
giusto?
Mi pare sia $(y')/(e^y)=2x/(e^x)$.
ah mi è scappata una x in più l'importante è che sia di quel tipo.... pensavo...
Sono le equazioni differenziali a variabili separabili le equzioni del tipo $g(y(x))y'(x)=f(x)$ o le equazioni di questo tipo possono anche essere semplicissime equazioni lineari omogenee ?
Sono le equazioni differenziali a variabili separabili le equzioni del tipo $g(y(x))y'(x)=f(x)$ o le equazioni di questo tipo possono anche essere semplicissime equazioni lineari omogenee ?
Potrebbero anche essere lineari omogenee; ma in generale la $g$ non ha nessun dovere di essere lineare.
ok ti ringrazio... no perchè ho ancora difficoltà a capire quali equazioni sono di quel tipo... grazie ancora
Mi sembrava bello che sapessi risolvere ste cose....
$root(3)y(y'+y)=x$
Che tipo di equazione??? Non riesco a risolverla...
$root(3)y(y'+y)=x$
Che tipo di equazione??? Non riesco a risolverla...
E' una Bernoulli? Non ricordo di preciso se il nome è corretto... magari con $z=root(3)y$ la vedi meglio.
si l'avevo pensato pure io ma non ne ero certo....
se provo a sostiuire con z mi viene una cosa dele genere:
$z=root(3) y $
$z'=1/{3root(3){y^2}}$ da cui $root(3){y^2}/{y'}=1/{3z'}$
Possibile mai? Come farei ora a sostiturire nell'equazione?
se provo a sostiuire con z mi viene una cosa dele genere:
$z=root(3) y $
$z'=1/{3root(3){y^2}}$ da cui $root(3){y^2}/{y'}=1/{3z'}$
Possibile mai? Come farei ora a sostiturire nell'equazione?
$z^3=y$ da cui $y'=3z^2z'$...
dopo che sostituisco dovrei trovare un equazione lineare del primo ordine ma a me viene $3z^2z'+z^4=x$ e questa non mi sembra del primo ordine lineare...
Forse è $3z^3z'+z^4=x$; certo che non è lineare, dovrebbe però "vedersi meglio" che è di Bernoulli.... o dico male? Non ricordo esattamente la forma, ma mi pare sia questa: la nostra equazione è $z'+z/3=x/(3z^3)$.
Allora..l'equazione generale di Bernoulli è $y'+a(x)y=b(x)y^alpha$
L'ho rifatta da capo che mi incartavo e non so come tornavo al punto di partenza...
L'equazione era $root(3)y(y'+y)=x$
Svolgo:
$y^{1/3}(y'+y)=x$ quindi $alpha=1/3$
$y'y^{1/3}+y^{4/3}=x$
sostituisco:
$z=y^{4/3}$ da cui $z'= 4/3y^{1/3}y'$ --> $3/4z'=y^{1/3}y'$
L'equazione diventa:
$3/4z' + z = x$
$z'+4/3z=4/3x$
ora il fatto è questo io dovrei avere il termine $a(x)$ ma qui mi sembra che non ci sia.... ($b(x)=4/3x$) quindi non riesco a capire che devo fare...
L'ho rifatta da capo che mi incartavo e non so come tornavo al punto di partenza...
L'equazione era $root(3)y(y'+y)=x$
Svolgo:
$y^{1/3}(y'+y)=x$ quindi $alpha=1/3$
$y'y^{1/3}+y^{4/3}=x$
sostituisco:
$z=y^{4/3}$ da cui $z'= 4/3y^{1/3}y'$ --> $3/4z'=y^{1/3}y'$
L'equazione diventa:
$3/4z' + z = x$
$z'+4/3z=4/3x$
ora il fatto è questo io dovrei avere il termine $a(x)$ ma qui mi sembra che non ci sia.... ($b(x)=4/3x$) quindi non riesco a capire che devo fare...
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