Problema di Cauchy
Ho fatto un esercizio ma non ho modo di vedere la sua correttezza... potete aiutarmi a capire dove sbaglio (se ci sono errori) ???
L'esercizio era il seguente:
${d^2y}/{dx^2}+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; ${dy}/{dx}(0)=4$
Così è come ho risolto:
$y''+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; $y'(0)=4$
Associo l'equazione caratteristica:
$z^2+4$ da cui ricavo $z=+-2i$
$y(x)=e^{2x}(c_1 cos2x + c_2 sen 2x)$
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
Quindi:
$y(0)=0$ con $c_1=0$ e qualunque $c_2$
$y'(0)=4$ con $c_2=2$ e qualunque $c_1$
Infine... la soluzione è: $e^{2x}(2 sen 2x)$
E' corretto?
Questo tipo di problema si potrebbe risolvere con l'utilizzo di un integrale definito invece di utilizzare le costanti $c_1$ e $c_2$ ??
Vi rignrazio per l'aiuto
L'esercizio era il seguente:
${d^2y}/{dx^2}+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; ${dy}/{dx}(0)=4$
Così è come ho risolto:
$y''+4y=0$ ; $y(0)=0$ ; $y'(0)=4$
Associo l'equazione caratteristica:
$z^2+4$ da cui ricavo $z=+-2i$
$y(x)=e^{2x}(c_1 cos2x + c_2 sen 2x)$
$y'(x)=-2c_1 sen 2x + 2c_2 cos 2x$
Quindi:
$y(0)=0$ con $c_1=0$ e qualunque $c_2$
$y'(0)=4$ con $c_2=2$ e qualunque $c_1$
Infine... la soluzione è: $e^{2x}(2 sen 2x)$
E' corretto?
Questo tipo di problema si potrebbe risolvere con l'utilizzo di un integrale definito invece di utilizzare le costanti $c_1$ e $c_2$ ??
Vi rignrazio per l'aiuto
Risposte
Come non c'è.... il $4/3$ che moltiplica la $z$ che cosa credi che sia?
Ahh epnsavo dovesse essere una funzione in x...
Allora.. .questa dovrebbe essere un equazione lineare non omogenea... la cui soluzione dovrebbe essere data da
$y= e^{-int a(x)dx}[int b(x)e^{int a(x)dx}dx+c]$
Anzicchè mettere quel $+c$ c'è il modo di calcolare l'integrale come se fosse definito? non so.. magari definendolo tra $y(t)$ e $k$ (con k che è la condizione del problema di cauchy)
Allora.. .questa dovrebbe essere un equazione lineare non omogenea... la cui soluzione dovrebbe essere data da
$y= e^{-int a(x)dx}[int b(x)e^{int a(x)dx}dx+c]$
Anzicchè mettere quel $+c$ c'è il modo di calcolare l'integrale come se fosse definito? non so.. magari definendolo tra $y(t)$ e $k$ (con k che è la condizione del problema di cauchy)
Sì, c'è il modo ma equivale a trovare prima l'integrale generale, come hai scritto tu, ed imporre poi il dato iniziale.
ok grazie
In un'equazione del secondo ordine con $Delta<0$ le radici mi vengono $x_{1,2}={-1+-sqrt{3i}}/2$
ora $alpha=-1/2$ ma $beta$ ??? $beta=sqrt{3}/2$ o semplicemente $beta=sqrt3$ ???
grazie ancora
ora $alpha=-1/2$ ma $beta$ ??? $beta=sqrt{3}/2$ o semplicemente $beta=sqrt3$ ???
grazie ancora
Anzitutto credo che sia $i\sqrt3$ e non $\sqrt(3i)$; se è come penso allora $\beta=sqrt3/2$.
esattamente le radici erano $x_{1,2}={-1+-sqrt{-3}}/2$
Appunto.
$y'=ln[(x+sqrt{1+x^2})^y]$ Quesat di che tipo è... non riesco a capire come risolverla.. l'unica cosa che ho potuto dedurre è la seguente:
$e^{y'}=(x+sqrt{1+x^2})^y$ Non so neanche se è giusto questo pensiero.. ma anche se fosse non saprei come continuare... consigli??
grazie ancora
$e^{y'}=(x+sqrt{1+x^2})^y$ Non so neanche se è giusto questo pensiero.. ma anche se fosse non saprei come continuare... consigli??
grazie ancora
E' facile: basta usare la ben nota proprietà dei logaritmi che afferma $log(x^n)=nlogx$; l'equazione diventa a variabili separabili.
$\int ln f(x) = f(x) *ln f(x)-f(x)$ ???
"Bartolomeo":
$\int ln f(x) = f(x) *ln f(x)-f(x)$ ???
No, non è corretto ; basta che derivi la funzione che hai ottenuto e vedrai che non viene la funzione integranda.
Per calcolare $int lnf(x)dx $ ti conviene integrare per parti, ponendo $int f(x)*D(x)*dx $ etc.
In questo problema di cauchy (quello menzionato sopra del logaritmo) mi viene una cosa del genere:
$(y')/y=ln(x+sqrt(1+x^2))^y$ la condizione è $y(1)=0$
Ora prendiamo in considerazione solo la parte sinistra (che è quella che non capisco):
$int_0^(y(t)) (y'(x))/(y(x))$ sostituendo $v=y(x)$ viene:
$int_0^(y(t)) (dv)/v$
$[ln v]_0^(y(t))$
Come potete notare veien un $ln 0$ come lo devo trattare?
$(y')/y=ln(x+sqrt(1+x^2))^y$ la condizione è $y(1)=0$
Ora prendiamo in considerazione solo la parte sinistra (che è quella che non capisco):
$int_0^(y(t)) (y'(x))/(y(x))$ sostituendo $v=y(x)$ viene:
$int_0^(y(t)) (dv)/v$
$[ln v]_0^(y(t))$
Come potete notare veien un $ln 0$ come lo devo trattare?
Ho provato a risolvere l'esercizio trascurando moementaneamente la condizione e mi viene una cosa del genere:
$y^2(ln y-1/2)=cos x^2+c$
come posso continuare? cioè... penso che dovrei scrivere in funzione di y.. ma quel logaritmo mi mette in difficolta.. grazie
$y^2(ln y-1/2)=cos x^2+c$
come posso continuare? cioè... penso che dovrei scrivere in funzione di y.. ma quel logaritmo mi mette in difficolta.. grazie
Ci sono un po' di errori; anzitutto nell'equazione quella $y$ all'esponente non dovrebbe esserci più.
Poi tieni conto che hai diviso per $y$, quindi stai supponendo di cercare una soluzione che non si annulla mai, almeno localmente, e non è il caso visto che parti proprio dal dato nullo. In realtà $y=0$ è l'unica soluzione del tuo problema di Cauchy.
Poi tieni conto che hai diviso per $y$, quindi stai supponendo di cercare una soluzione che non si annulla mai, almeno localmente, e non è il caso visto che parti proprio dal dato nullo. In realtà $y=0$ è l'unica soluzione del tuo problema di Cauchy.
Ehm... perdonami ho combianto un casino... l'esercizio che ho risolto in quel modo era questo:
$y/(sin x^2)(dy)/(dx)+x/ln y=0$ con la condizione $y(0)=1$
e l'ho portato fino a questo punto:
$y^2(ln y-1/2)=cos x^2+c$
Scusa ancora...
$y/(sin x^2)(dy)/(dx)+x/ln y=0$ con la condizione $y(0)=1$
e l'ho portato fino a questo punto:
$y^2(ln y-1/2)=cos x^2+c$
Scusa ancora...
Questo è corretto; $c$ dovrebbe valere $-3/2$. Comunque al di là della costante tale soluzione non è esplicitabile, va lasciata in forma implicita.
ah quindi lascio così... grazie ancora...
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