Problema di Cauchy
sto impazzendo...le equazioni differenziali non le capirò mai!! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
vi prego aiutatemi::
risolvere il seguente problema di Cauchy:
$y'+(1/x-1)y = (e^(2x))/x$
$y(1) = 1$
detreminare la soluzione che tende ad $1$ quando $x$ tende a $0$
allora...non so proprio come fare...vi dico quello ke ho provato a fare:
calcolo l'integrale generale dell'omogenea associata
$y'+(1/x-1)y = 0$
$(y')/y= - 1/x +1$
$ln y= -ln|x| + x +k $
$y= (1/|x| +e^x)c $ con $c= +- e^k$
ora per trovare l'equazione copleta dovrei determinare in integrale particolare $bar y$
con il metodo di lagrage
$bar y (x) = gamma(x)(1/|x| +e^x)$
$gamma'(x)(1/|x| +e^x)=(e^(2x))/x$
$gamma'(x)= (e^(2x)/x)(|x|/(1+|x|e^x))$
ora dovrei integrare il ssecondo membro?
e poi??
grazie infinite
ila
vi prego aiutatemi::
risolvere il seguente problema di Cauchy:
$y'+(1/x-1)y = (e^(2x))/x$
$y(1) = 1$
detreminare la soluzione che tende ad $1$ quando $x$ tende a $0$
allora...non so proprio come fare...vi dico quello ke ho provato a fare:
calcolo l'integrale generale dell'omogenea associata
$y'+(1/x-1)y = 0$
$(y')/y= - 1/x +1$
$ln y= -ln|x| + x +k $
$y= (1/|x| +e^x)c $ con $c= +- e^k$
ora per trovare l'equazione copleta dovrei determinare in integrale particolare $bar y$
con il metodo di lagrage
$bar y (x) = gamma(x)(1/|x| +e^x)$
$gamma'(x)(1/|x| +e^x)=(e^(2x))/x$
$gamma'(x)= (e^(2x)/x)(|x|/(1+|x|e^x))$
ora dovrei integrare il ssecondo membro?
e poi??
grazie infinite
ila
Risposte
Usa direttamente la formula risolutiva per equazioni lineari del primo ordine; troverai l'integrale generale dato da
$y(x)=e^x/x(c+e^x)$.
Si trova poi $c$ imponendo la condizione data; si verifica poi se la soluzione trovata ha limite $1$ se $x->0$ (immagino la richiesta fosse questa).
$y(x)=e^x/x(c+e^x)$.
Si trova poi $c$ imponendo la condizione data; si verifica poi se la soluzione trovata ha limite $1$ se $x->0$ (immagino la richiesta fosse questa).
L’equazione [lineare e ‘non omogenea’…] può essere posta nella forma…
$y’= a(x)*y+b(x)$ (1)
… dove…
$a(x)=(x-1)/x$ e $b(x)=e^(2x)/x$ (2)
A questo punto si tratta di applicare la soluzione ‘standard’ che fornisce l’integrale generale della (1)…
$y= e^(int a(x)*dx)*(int b(x)*e^(-int a(x)*dx)+c)$ (3)
… dove $c$ è la solita ‘costante arbitraria’. Non resta che eseguire gli integrali…
$int a(x)*dx= int (x-1)/x*dx= x-ln x+ln c$ con $c>0$ (4)
L’integrale generale della omogenea è quindi…
$y=c*e^(x-ln x)= c*(e^x)/x$ (5)
Credo che tu abbia commesso un errore proprio nel calcolo della (5), dopo di che tutto è divenuto più difficile. Calcoliamo ora il secondo integrale…
$int b(x)*e^(-int a(x)*dx)= int e^(2x)/x*x/(e^x)*dx= int e^x*dx= e^x$ (5)
Andando a sostituire nella (3) si ottiene la soluzione generale…
$y= (e^x)/x*(e^x+c)= e^x*(e^x+c)/x$ (6)
E’ abbastanza agevole verificare che la (6) presenta una singolarità in $x=0$ per qualunque valore di $c$ eccetto il caso $c=-1$ nel qual caso è…
$y=e^x*(e^x-1)/x$ (7)
… la quale vale $1$ per $x=0$. Siamo così ancora una volta di fronte ad un esempio di ‘singolarità eliminabile’ che è più corretto definire ‘singolarità inesistente’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y’= a(x)*y+b(x)$ (1)
… dove…
$a(x)=(x-1)/x$ e $b(x)=e^(2x)/x$ (2)
A questo punto si tratta di applicare la soluzione ‘standard’ che fornisce l’integrale generale della (1)…
$y= e^(int a(x)*dx)*(int b(x)*e^(-int a(x)*dx)+c)$ (3)
… dove $c$ è la solita ‘costante arbitraria’. Non resta che eseguire gli integrali…
$int a(x)*dx= int (x-1)/x*dx= x-ln x+ln c$ con $c>0$ (4)
L’integrale generale della omogenea è quindi…
$y=c*e^(x-ln x)= c*(e^x)/x$ (5)
Credo che tu abbia commesso un errore proprio nel calcolo della (5), dopo di che tutto è divenuto più difficile. Calcoliamo ora il secondo integrale…
$int b(x)*e^(-int a(x)*dx)= int e^(2x)/x*x/(e^x)*dx= int e^x*dx= e^x$ (5)
Andando a sostituire nella (3) si ottiene la soluzione generale…
$y= (e^x)/x*(e^x+c)= e^x*(e^x+c)/x$ (6)
E’ abbastanza agevole verificare che la (6) presenta una singolarità in $x=0$ per qualunque valore di $c$ eccetto il caso $c=-1$ nel qual caso è…
$y=e^x*(e^x-1)/x$ (7)
… la quale vale $1$ per $x=0$. Siamo così ancora una volta di fronte ad un esempio di ‘singolarità eliminabile’ che è più corretto definire ‘singolarità inesistente’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Io spero vivamente che nessun studente prenda per vero quanto detto e dica ad un esame che la funzione $(e^x-1)/x$ vale $1$ per $x=0$. Mi raccomando, non commettete questo errore.
Vorrei fare una domanda a lupo grigio: perché il testo di questo esercizio dice determinare la soluzione che tende ad 1 quando x tende a 0 e non determinare la soluzione che vale 1 quando x vale 0?
ahahahah qua il nostro caro lupo è preso in castagna....
Naturalmente non posso che condividere in pieno la raccomandazione di Luca, ossia di dire all’esame esattamente quello che al cattedratico piace sentirsi dire. Certamente non è giusto che uno studente debba scontare sulla propria pelle il fatto che le nostre università sono agli ultimi posti nella graduatoria mondiale 
…
A parte ciò riterrei interessante esaminare l’equazione differenziale proposta riscrivendola in una forma un poco diversa, vale a dire…
$x*y’+(1-x)*y-e^(2x)=0$ (1)
Si tratta di un caso particolare di equazione lineare completa [detta anche ‘non omogenea’…] che nel caso generale di equazione di grado $n$ diviene…
$a_0(x)*y^(n)+a_1(x)*y^(n-1)+…+a_n(x)*y=b(x)$ (2)
… dove $a_0(x)$, $a_1(x)$,…,$a _n(x)$, $b(x)$ sono funzioni continue in una intervallo $(a,b)$…
Il testo che avevo all’università e che conservo ancora come reperto del paleolitico a questo punto riporta quanto segue…
I punti di $(a,b)$ in cui si annulla $a_0(x)$ sono detti punti singolari. Lo studio dell’andamento di un integrale della (2) nell’intorno di un punto singolare esula dal campo delle presenti lezioni. Nel seguito supporremo che in tutto (a,b) sia $a_0(x)ne0$…
Osservando la (1) si nota che il punto $x=0$ è proprio un punto singolare dell’equazione. La famiglia di soluzioni che abbiamo trovato presenta in effetti una singolarità in $x=0$ in tutti i casi… ad eccezione di uno in cui è …
$y=e^x*(e^x-1)/x$ (3)
Vi sono altri casi in cui la differenza tra soluzioni ‘oneste’ e soluzioni ‘disoneste’ è ancora più marcata. Un esempio celebre è dato dall’equazione differenziale di Bessel…
$x^2*y’’+x*y’+(x^2-n^2)=0$ con $n>=0$ (4)
In essa il punto $x=0$ è un punto singolare e per ogni valore di $n$ vi è una soluzione ‘onesta’ [funzione di Bessel di prima specie di ordine $n$, continua in $x=0$…] e una soluzione ‘disonesta’ [funzione di Bessel di seconda specie di ordine $n$, la quale ha una singolarità in $x=0$…]. Mi sono sempre chiesto se vi è un criterio generale per stabilire se esistono e quali sono le soluzioni ‘oneste’ di una equazione differenziale lineare [e non…] nei suoi punti singolari…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
… A parte ciò riterrei interessante esaminare l’equazione differenziale proposta riscrivendola in una forma un poco diversa, vale a dire…
$x*y’+(1-x)*y-e^(2x)=0$ (1)
Si tratta di un caso particolare di equazione lineare completa [detta anche ‘non omogenea’…] che nel caso generale di equazione di grado $n$ diviene…
$a_0(x)*y^(n)+a_1(x)*y^(n-1)+…+a_n(x)*y=b(x)$ (2)
… dove $a_0(x)$, $a_1(x)$,…,$a _n(x)$, $b(x)$ sono funzioni continue in una intervallo $(a,b)$…
Il testo che avevo all’università e che conservo ancora come reperto del paleolitico a questo punto riporta quanto segue…
I punti di $(a,b)$ in cui si annulla $a_0(x)$ sono detti punti singolari. Lo studio dell’andamento di un integrale della (2) nell’intorno di un punto singolare esula dal campo delle presenti lezioni. Nel seguito supporremo che in tutto (a,b) sia $a_0(x)ne0$…
Osservando la (1) si nota che il punto $x=0$ è proprio un punto singolare dell’equazione. La famiglia di soluzioni che abbiamo trovato presenta in effetti una singolarità in $x=0$ in tutti i casi… ad eccezione di uno in cui è …
$y=e^x*(e^x-1)/x$ (3)
Vi sono altri casi in cui la differenza tra soluzioni ‘oneste’ e soluzioni ‘disoneste’ è ancora più marcata. Un esempio celebre è dato dall’equazione differenziale di Bessel…
$x^2*y’’+x*y’+(x^2-n^2)=0$ con $n>=0$ (4)
In essa il punto $x=0$ è un punto singolare e per ogni valore di $n$ vi è una soluzione ‘onesta’ [funzione di Bessel di prima specie di ordine $n$, continua in $x=0$…] e una soluzione ‘disonesta’ [funzione di Bessel di seconda specie di ordine $n$, la quale ha una singolarità in $x=0$…]. Mi sono sempre chiesto se vi è un criterio generale per stabilire se esistono e quali sono le soluzioni ‘oneste’ di una equazione differenziale lineare [e non…] nei suoi punti singolari…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"Tipper":
Vorrei fare una domanda a lupo grigio: perché il testo di questo esercizio dice determinare la soluzione che tende ad 1 quando x tende a 0 e non determinare la soluzione che vale 1 quando x vale 0?
... penso che la domanda andrebbe fatta a chi ha ideato l'esercizio stesso. Purtroppo si dà il caso che lo scrivente ancora non è dotato di poteri telepatici...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Mi sa che serve molto meno di qualunque tecnica telepatica o telecinetica per capirlo...
A proposito di singolarita' eliminabile (??) vorrei che qualcuno gentilmente mi
togliesse una curiosita'.
La funzione $e^x((e^x-1)/x)$ non e' definita per x=0.
Tuttavia si puo' sempre aggiustare la cosa definendo la funz. al seguente modo:
f(x)=1 per x=0 (ogni altra scelta la troverei innaturale),$f(x)=e^x((e^x-1)/x)$
altrove.Giusto?
A questo punto posso tranquillamente dire che f(0)=1?
E cio' e' permesso dal fatto che la (nuova) f(x) non coincide piu' con quella iniziale ?
O si tratta di una partita di giro ,tanto per prendere per i fondelli qualcuno?
Dico questo perche' in quest'ultimo caso non mi resterebbe che dare ampia ragione
a Lupo Grigio (e non mi dispiacerebbe affatto..)
karl
togliesse una curiosita'.
La funzione $e^x((e^x-1)/x)$ non e' definita per x=0.
Tuttavia si puo' sempre aggiustare la cosa definendo la funz. al seguente modo:
f(x)=1 per x=0 (ogni altra scelta la troverei innaturale),$f(x)=e^x((e^x-1)/x)$
altrove.Giusto?
A questo punto posso tranquillamente dire che f(0)=1?
E cio' e' permesso dal fatto che la (nuova) f(x) non coincide piu' con quella iniziale ?
O si tratta di una partita di giro ,tanto per prendere per i fondelli qualcuno?
Dico questo perche' in quest'ultimo caso non mi resterebbe che dare ampia ragione
a Lupo Grigio (e non mi dispiacerebbe affatto..)
karl
Per quanto ne so io:
$f(x) = e^x*((e^x-1)/x)$ in $0$ non è definita, e in $0$ ha una discontinuità di terza specie, ovvero i limiti da destra e da sinistra sono finiti e uguali.
Per questo si può definire una nuova funzione $g(x)$ definita come $f(x)$ se $x \ne 0$ e $1$ se $x=0$.
A fronte di questa nuova definizione risulta ovviamente $g(0)=1$.
Quello che non mi convince del ragionamento di lupo grigio è questo: se ho capito bene (ma potrei anche aver frainteso), lupo grigio sostiene che se una funzione $h(x)$ ha una discontinuità di terza specie in $x_0$ allora $h(x_0) =lim_{x \rightarrow x_0} h(x)$
Ma allora la funzione che ha una discontinuità di terza specie in $x_0$ in tale punto risulterebbe continua...
Ripeto, ci sta benissimo che non abbia capito un ciufolo di quello che sostiene lupo grigio.
$f(x) = e^x*((e^x-1)/x)$ in $0$ non è definita, e in $0$ ha una discontinuità di terza specie, ovvero i limiti da destra e da sinistra sono finiti e uguali.
Per questo si può definire una nuova funzione $g(x)$ definita come $f(x)$ se $x \ne 0$ e $1$ se $x=0$.
A fronte di questa nuova definizione risulta ovviamente $g(0)=1$.
Quello che non mi convince del ragionamento di lupo grigio è questo: se ho capito bene (ma potrei anche aver frainteso), lupo grigio sostiene che se una funzione $h(x)$ ha una discontinuità di terza specie in $x_0$ allora $h(x_0) =lim_{x \rightarrow x_0} h(x)$
Ma allora la funzione che ha una discontinuità di terza specie in $x_0$ in tale punto risulterebbe continua...
Ripeto, ci sta benissimo che non abbia capito un ciufolo di quello che sostiene lupo grigio.
Eh no, hai cambiato funzione Karl. Una funzione è una relazione tra due insiemi, e come tale va scritta. Ovvero va scritto il dominio della funzione, il codominio e l'eventuale espressione analitica.
Quindi dare semplicemente $(e^x-1)/x$ non significa assegnare una funzione. Però è di uso comune che quando si assegna solo l'espressione analitica si sottintende la funzione che ha quella come espressione analitica e che ha come dominio il più grande sottoinsieme di $R$ (in questo caso) dove posso fare le operazioni consentite dall'espressione, senza tirare in gioco ulteriori considerazioni. Ne segue che la funzione così definita non risulta definita per $x=0$, poichè $0$ non è un valore che mi restituisce un risultato se inserito nell'espressione.
Purtroppo dare una funzione senza dominio è una cattiva abitudine, contraddice la definizione stessa di funzione, ma è ormai accettato e sottinteso quanto ho detto.
Quindi dare semplicemente $(e^x-1)/x$ non significa assegnare una funzione. Però è di uso comune che quando si assegna solo l'espressione analitica si sottintende la funzione che ha quella come espressione analitica e che ha come dominio il più grande sottoinsieme di $R$ (in questo caso) dove posso fare le operazioni consentite dall'espressione, senza tirare in gioco ulteriori considerazioni. Ne segue che la funzione così definita non risulta definita per $x=0$, poichè $0$ non è un valore che mi restituisce un risultato se inserito nell'espressione.
Purtroppo dare una funzione senza dominio è una cattiva abitudine, contraddice la definizione stessa di funzione, ma è ormai accettato e sottinteso quanto ho detto.
Quindi si tratta di una nuova funzione (come sospettavo e come
per la verita' ho sempre saputo).Resta tuttavia l'impressione
di una certa artificiosita' benche' il riferimento di Luca alla
definizione di funzione come relazione tra 2 insiemi appaia
convincente.
Forza Italia ( Germania "va da via i ciap"!)
karl
per la verita' ho sempre saputo).Resta tuttavia l'impressione
di una certa artificiosita' benche' il riferimento di Luca alla
definizione di funzione come relazione tra 2 insiemi appaia
convincente.
Forza Italia ( Germania "va da via i ciap"!)
karl
"Tipper":
... ci sta benissimo che non abbia capito un ciufolo di quello che sostiene lupo grigio...
... credo sia questa l'ipotesi più verosimile...
La funzione $(e^x-1)/x$ è il rapporto di due funzioni analitiche di grado $1$ e pertanto è una funzione analitica di grado $0$. Che cosa sia il grado di una funzione e le caratteristiche della funzione risultante da somma, prodotto e rapporto tra funzioni lo si può vedere in...
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 3&start=50
A risentirci dopo... e nel frattempo... buona lettura!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
[quote="Tipper"]... ci sta benissimo che non abbia capito un ciufolo di quello che sostiene lupo grigio...
... credo sia questa l'ipotesi più verosimile...
La funzione $(e^x-1)/x$ è il rapporto di due funzioni analitiche di grado $1$ e pertanto è una funzione analitica di grado $0$. Che cosa sia il grado di una funzione e le caratteristiche della funzione risultante da somma, prodotto e rapporto tra funzioni lo si può vedere in...
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 3&start=50
A risentirci dopo... e nel frattempo... buona lettura!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature[/quote]
Perfetto!
Cordiali saluti
Sì, è vero che il tutto è artificioso, infatti le cose in realtà vanno nel seguente modo:
1) Sia $f: (x \in R: x \ne 0) -> R$ la funzione data da $f(x)=(e^x-1)/x$.
2) Sia $g: R ->R$ la funzione data da $g(x)=(e^x-1)/x$ per $x \ne 0$ e $g(0)=1$.
Per quanto possa sembrare strano (per qualcuno) $f$ e $g$ sono due funzioni diverse.
1) Sia $f: (x \in R: x \ne 0) -> R$ la funzione data da $f(x)=(e^x-1)/x$.
2) Sia $g: R ->R$ la funzione data da $g(x)=(e^x-1)/x$ per $x \ne 0$ e $g(0)=1$.
Per quanto possa sembrare strano (per qualcuno) $f$ e $g$ sono due funzioni diverse.
no, non c'è niente da fare...non riesco proprio a capire l'ultimo punto.... 
cmq grazie a tutti
cmq grazie a tutti
Quale ultimo punto?
questo:
"lupo grigio":
E’ abbastanza agevole verificare che la (6) presenta una singolarità in $x=0$ per qualunque valore di $c$ eccetto il caso $c=-1$ nel qual caso è…
$y=e^x*(e^x-1)/x$ (7)
… la quale vale $1$ per $x=0$. Siamo così ancora una volta di fronte ad un esempio di ‘singolarità eliminabile’ che è più corretto definire ‘singolarità inesistente’…
Lascia perdere quelle parole; piuttosto dimmi una cosa: sei certa della condizione $y(1)=1$?
bhè $y(1)=1$ quando $c= 1/e -e$
quindi sostituendo la soluzione del problema di cauchy è
$y(x) = (e^(x+1)+1-e^2)/(ex)$
giusto ??
e ora come faccio a detreminare la soluzione che tende ad $1$ quando $x$ tende a $0$ ???
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo